Sr Examen
Ecuación diferencial dy*e^3*x/dx=sin(y)^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 3 2 x*--(y(x))*e = sin (y(x)) dx
$$x e^{3} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
x*exp(3)*y' = sin(y)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x e^{3} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x e^{3}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x e^{3}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x e^{3}}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x e^{3}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{x e^{3}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{e^{3}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{C_{1} - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} + e^{6}} + \log{\left(x \right)}}{\left(e^{1}\right)^{3}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{C_{1} + \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} + e^{6}} + \log{\left(x \right)}}{\left(e^{1}\right)^{3}} \right)}$$
$$x e^{3} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x e^{3}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x e^{3}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x e^{3}}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x e^{3}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{x e^{3}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{e^{3}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{C_{1} - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} + e^{6}} + \log{\left(x \right)}}{\left(e^{1}\right)^{3}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{C_{1} + \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} + e^{6}} + \log{\left(x \right)}}{\left(e^{1}\right)^{3}} \right)}$$
Respuesta
[src]
// __________________________________ \ \
|| / 2 2 6 | -3|
y(x) = 2*atan\\C1 - \/ C1 + log (x) + 2*C1*log(x) + e + log(x)/*e /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{C_{1} - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} + e^{6}} + \log{\left(x \right)}}{e^{3}} \right)}$$
// __________________________________ \ \
|| / 2 2 6 | -3|
y(x) = 2*atan\\C1 + \/ C1 + log (x) + 2*C1*log(x) + e + log(x)/*e /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{C_{1} + \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} + e^{6}} + \log{\left(x \right)}}{e^{3}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
separable reduced Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7442225141380859)
(-5.555555555555555, 0.7365992279032113)
(-3.333333333333333, 0.7252658806711382)
(-1.1111111111111107, 0.7018388361187835)
(1.1111111111111107, 0.2930304247043931)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 1.5329707450689139e-75)
(7.777777777777779, 8.388243566957882e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)