Ecuación diferencial y''+2*y'+5*y=2*cos(t)

Tenemos la ecuación:
$$5 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 2 \cos{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 2$$
$$q = 5$$
$$s = - 2 \cos{\left(t \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - 2 i$$
$$k_{2} = -1 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(-1 - 2 i\right)} + C_{2} e^{t \left(-1 + 2 i\right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 + 2 i\right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(t*(-1 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(t*(-1 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = 2 \cos{\left(t \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{t \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(-1 - 2 i\right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(-1 + 2 i\right)} = 2 \cos{\left(t \right)}$$
o
$$e^{t \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\left(-1 - 2 i\right) e^{t \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \left(-1 + 2 i\right) e^{t \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 2 \cos{\left(t \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \frac{i e^{t + 2 i t} \cos{\left(t \right)}}{2}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{i e^{t - 2 i t} \cos{\left(t \right)}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \frac{i e^{t + 2 i t} \cos{\left(t \right)}}{2}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i e^{t - 2 i t} \cos{\left(t \right)}}{2}\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \frac{i \left(- \frac{e^{t} e^{2 i t} \sin{\left(t \right)}}{10} - \frac{i e^{t} e^{2 i t} \sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{3 e^{t} e^{2 i t} \cos{\left(t \right)}}{10} - \frac{2 i e^{t} e^{2 i t} \cos{\left(t \right)}}{5}\right)}{2}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{i \left(- \frac{e^{t} e^{- 2 i t} \sin{\left(t \right)}}{10} + \frac{i e^{t} e^{- 2 i t} \sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{3 e^{t} e^{- 2 i t} \cos{\left(t \right)}}{10} + \frac{2 i e^{t} e^{- 2 i t} \cos{\left(t \right)}}{5}\right)}{2}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- t} e^{- 2 i t} + C_{4} e^{- t} e^{2 i t} + \frac{\sin{\left(t \right)}}{5} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{5}$$
donde C3 y C4 hay son constantes