Ecuación diferencial sqrt(x^2-1)y'=y

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$\sqrt{x^{2} - 1}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y' + P(x)y = 0,

donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:

De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right)\, dx = - \operatorname{acosh}{\left(x \right)} + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}$$