Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x} = e x y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(e x^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{\left(e x^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(e x^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(e x^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{\left(e x^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \frac{e x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{e x^{2}}{4} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{e x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{e x^{2}}{4} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}}$$