Sr Examen
Ecuación diferencial ay"+by'+cy=-3e^2x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d 2
a*---(y(x)) + b*--(y(x)) + c*y(x) = -3*x*e
2 dx
dx
$$a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + c y{\left(x \right)} = - 3 x e^{2}$$
a*y'' + b*y' + c*y = -3*x*exp(2)
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + c y{\left(x \right)}}{a} = - \frac{3 x e^{2}}{a}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$s = \frac{3 x e^{2}}{a}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b k}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
$$k_{2} = - \frac{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + C_{2} e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-b + sqrt(-4*a*c + b^2))/(2*a)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x*(b + sqrt(-4*a*c + b^2))/(2*a)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - \frac{3 x e^{2}}{a}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} = - \frac{3 x e^{2}}{a}$$
o
$$e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{\left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right) e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2 a} - \frac{\left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right) e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{2 a} = - \frac{3 x e^{2}}{a}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{3 x e^{\frac{4 a + b x - x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{3 x e^{\frac{4 a + b x + x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{3 x e^{\frac{4 a + b x - x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{3 x e^{\frac{4 a + b x + x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} \frac{\left(24 a^{3} c - 6 a^{2} b^{2} - 24 a^{2} b c x + 6 a^{2} b \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 12 a^{2} c x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 6 a b^{3} x - 6 a b^{2} x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right) e^{\frac{4 a + b x - x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{for}\: 24 a^{2} b c^{2} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \neq 0 \\- \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} \frac{\left(24 a^{3} c - 6 a^{2} b^{2} - 24 a^{2} b c x - 6 a^{2} b \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 12 a^{2} c x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 6 a b^{3} x + 6 a b^{2} x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right) e^{\frac{4 a + b x + x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{for}\: 24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \neq 0 \\\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + C_{4} e^{- \frac{b x}{2 a}} e^{- \frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + \left(\begin{cases} \frac{24 a^{3} c e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} - \frac{6 a^{2} b^{2} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} - \frac{24 a^{2} b c x e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} + \frac{6 a^{2} b \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} + \frac{12 a^{2} c x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} + \frac{6 a b^{3} x e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} - \frac{6 a b^{2} x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} & \text{for}\: 24 a^{2} b c^{2} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \neq 0 \\- \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + \left(\begin{cases} \frac{24 a^{3} c e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} - \frac{6 a^{2} b^{2} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} - \frac{24 a^{2} b c x e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} - \frac{6 a^{2} b \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} - \frac{12 a^{2} c x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} + \frac{6 a b^{3} x e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} + \frac{6 a b^{2} x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{for}\: 24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \neq 0 \\\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{b x}{2 a}} e^{- \frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + c y{\left(x \right)}}{a} = - \frac{3 x e^{2}}{a}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$s = \frac{3 x e^{2}}{a}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b k}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
$$k_{2} = - \frac{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + C_{2} e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-b + sqrt(-4*a*c + b^2))/(2*a)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x*(b + sqrt(-4*a*c + b^2))/(2*a)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - \frac{3 x e^{2}}{a}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} = - \frac{3 x e^{2}}{a}$$
o
$$e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{\left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right) e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2 a} - \frac{\left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right) e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{2 a} = - \frac{3 x e^{2}}{a}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{3 x e^{\frac{4 a + b x - x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{3 x e^{\frac{4 a + b x + x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{3 x e^{\frac{4 a + b x - x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{3 x e^{\frac{4 a + b x + x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} \frac{\left(24 a^{3} c - 6 a^{2} b^{2} - 24 a^{2} b c x + 6 a^{2} b \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 12 a^{2} c x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 6 a b^{3} x - 6 a b^{2} x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right) e^{\frac{4 a + b x - x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{for}\: 24 a^{2} b c^{2} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \neq 0 \\- \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} \frac{\left(24 a^{3} c - 6 a^{2} b^{2} - 24 a^{2} b c x - 6 a^{2} b \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 12 a^{2} c x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 6 a b^{3} x + 6 a b^{2} x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right) e^{\frac{4 a + b x + x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{for}\: 24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \neq 0 \\\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + C_{4} e^{- \frac{b x}{2 a}} e^{- \frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + \left(\begin{cases} \frac{24 a^{3} c e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} - \frac{6 a^{2} b^{2} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} - \frac{24 a^{2} b c x e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} + \frac{6 a^{2} b \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} + \frac{12 a^{2} c x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} + \frac{6 a b^{3} x e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} - \frac{6 a b^{2} x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 14 a b^{3} c e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + 2 b^{5} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}} & \text{for}\: 24 a^{2} b c^{2} - 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c + 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} - 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \neq 0 \\- \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}} + \left(\begin{cases} \frac{24 a^{3} c e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} - \frac{6 a^{2} b^{2} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} - \frac{24 a^{2} b c x e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} - \frac{6 a^{2} b \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} - \frac{12 a^{2} c x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} + \frac{6 a b^{3} x e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} + \frac{6 a b^{2} x \sqrt{- 4 a c + b^{2}} e^{2} e^{\frac{b x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}}{24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{for}\: 24 a^{2} b c^{2} + 8 a^{2} c^{2} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} - 14 a b^{3} c - 10 a b^{2} c \sqrt{- 4 a c + b^{2}} + 2 b^{5} + 2 b^{4} \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \neq 0 \\\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{b x}{2 a}} e^{- \frac{x \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ ____________\ / ____________ \
| / 2 | | / 2 |
x*\-b - \/ b - 4*a*c / x*\\/ b - 4*a*c - b/
------------------------ ----------------------- 2 2
2*a 2*a 3*x*e 3*b*e
y(x) = C1*e + C2*e - ------ + ------
c 2
c
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(- b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + C_{2} e^{\frac{x \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)}{2 a}} + \frac{3 b e^{2}}{c^{2}} - \frac{3 x e^{2}}{c}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral