Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}}{a} = \frac{\cos{\left(b x \right)}}{a}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = Q(x)
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{a}$$
y
$$Q{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(b x \right)}}{a}$$
y se llama
lineal homogéneaecuación diferencial de 1 orden:Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y' + P(x)y = 0
con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{a}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{1}{a}\, dx = Const + \frac{x}{a}$$
Solución detallada de la integralEs decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} - \frac{x}{a}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} - \frac{x}{a}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{- \frac{x}{a}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y' + P(x)y = Q(x)
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x
$$y = C{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{a}}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{x}{a}} \cos{\left(b x \right)}}{a}$$
Es decir, C(x) =
$$\int \frac{e^{\frac{x}{a}} \cos{\left(b x \right)}}{a}\, dx = Const + \frac{\begin{cases} - \frac{i x e^{i b x} \sin{\left(b x \right)}}{2} + \frac{x e^{i b x} \cos{\left(b x \right)}}{2} - \frac{i e^{i b x} \cos{\left(b x \right)}}{2 b} & \text{for}\: a = - \frac{i}{b} \\\frac{i x e^{- i b x} \sin{\left(b x \right)}}{2} + \frac{x e^{- i b x} \cos{\left(b x \right)}}{2} + \frac{i e^{- i b x} \cos{\left(b x \right)}}{2 b} & \text{for}\: a = \frac{i}{b} \\\frac{a^{2} b e^{\frac{x}{a}} \sin{\left(b x \right)}}{a^{2} b^{2} + 1} + \frac{a e^{\frac{x}{a}} \cos{\left(b x \right)}}{a^{2} b^{2} + 1} & \text{otherwise} \end{cases}}{a}$$
Solución detallada de la integralsustituimos C(x) en
$$y = C{\left(x \right)} e^{- \frac{x}{a}}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$e^{- \frac{x}{a}} \left(Const + \frac{\begin{cases} - \frac{i x e^{i b x} \sin{\left(b x \right)}}{2} + \frac{x e^{i b x} \cos{\left(b x \right)}}{2} - \frac{i e^{i b x} \cos{\left(b x \right)}}{2 b} & \text{for}\: a = - \frac{i}{b} \\\frac{i x e^{- i b x} \sin{\left(b x \right)}}{2} + \frac{x e^{- i b x} \cos{\left(b x \right)}}{2} + \frac{i e^{- i b x} \cos{\left(b x \right)}}{2 b} & \text{for}\: a = \frac{i}{b} \\\frac{a^{2} b e^{\frac{x}{a}} \sin{\left(b x \right)}}{a^{2} b^{2} + 1} + \frac{a e^{\frac{x}{a}} \cos{\left(b x \right)}}{a^{2} b^{2} + 1} & \text{otherwise} \end{cases}}{a}\right)$$