Sr Examen
Ecuación diferencial ay'-y=a\arctgy\a
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 1
-y(x) + a*--(y(x)) = ----------
dx acot(y(x))
$$a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
a*y' - y = 1/acot(y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{a} - \frac{1}{a \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{a} - \frac{1}{a \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{a \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{a dx \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{a dy \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)} \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{a \operatorname{acot}{\left(y \right)}}{y \operatorname{acot}{\left(y \right)} + 1}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- a \int \frac{\operatorname{acot}{\left(y \right)}}{y \operatorname{acot}{\left(y \right)} + 1}\, dy = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - a \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{\operatorname{acot}{\left(y \right)}}{y \operatorname{acot}{\left(y \right)} + 1}\, dy = C_{1} - x$$
$$a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{a} - \frac{1}{a \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{a} - \frac{1}{a \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{a \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{a dx \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{a dy \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)} \operatorname{acot}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{a \operatorname{acot}{\left(y \right)}}{y \operatorname{acot}{\left(y \right)} + 1}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- a \int \frac{\operatorname{acot}{\left(y \right)}}{y \operatorname{acot}{\left(y \right)} + 1}\, dy = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - a \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{\operatorname{acot}{\left(y \right)}}{y \operatorname{acot}{\left(y \right)} + 1}\, dy = C_{1} - x$$
Respuesta
[src]
y(x)
/
|
| acot(y)
-a* | ------------- dy = C1 - x
| 1 + y*acot(y)
|
/
$$- a \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{\operatorname{acot}{\left(y \right)}}{y \operatorname{acot}{\left(y \right)} + 1}\, dy = C_{1} - x$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral