Ecuación diferencial y''+ay'+by=cx+d

Tenemos la ecuación:
$$a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + b y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = c x + d$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = a$$
$$q = b$$
$$s = - c x - d$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$a k + b + k^{2} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-a/2 - sqrt(a^2 - 4*b)/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-a/2 + sqrt(a^2 - 4*b)/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = c x + d$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} = c x + d$$
o
$$e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right) e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right) e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = c x + d$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\left(c x + d\right) e^{\frac{x \left(a + \sqrt{a^{2} - 4 b}\right)}{2}}}{\sqrt{a^{2} - 4 b}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(c x + d\right) e^{\frac{x \left(a - \sqrt{a^{2} - 4 b}\right)}{2}}}{\sqrt{a^{2} - 4 b}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\left(c x + d\right) e^{\frac{x \left(a + \sqrt{a^{2} - 4 b}\right)}{2}}}{\sqrt{a^{2} - 4 b}}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(c x + d\right) e^{\frac{x \left(a - \sqrt{a^{2} - 4 b}\right)}{2}}}{\sqrt{a^{2} - 4 b}}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} \frac{\left(- 2 a^{4} c x - 2 a^{4} d - 2 a^{3} c x \sqrt{a^{2} - 4 b} + 2 a^{3} c - 2 a^{3} d \sqrt{a^{2} - 4 b} + 12 a^{2} b c x + 12 a^{2} b d + 2 a^{2} c \sqrt{a^{2} - 4 b} + 8 a b c x \sqrt{a^{2} - 4 b} - 8 a b c + 8 a b d \sqrt{a^{2} - 4 b} - 16 b^{2} c x - 16 b^{2} d - 8 b c \sqrt{a^{2} - 4 b}\right) e^{\frac{x \left(a + \sqrt{a^{2} - 4 b}\right)}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} & \text{for}\: 2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3} \neq 0 \\- \frac{c x^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - 4 b}} - \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - 4 b}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} \frac{\left(2 a^{4} c x + 2 a^{4} d - 2 a^{3} c x \sqrt{a^{2} - 4 b} - 2 a^{3} c - 2 a^{3} d \sqrt{a^{2} - 4 b} - 12 a^{2} b c x - 12 a^{2} b d + 2 a^{2} c \sqrt{a^{2} - 4 b} + 8 a b c x \sqrt{a^{2} - 4 b} + 8 a b c + 8 a b d \sqrt{a^{2} - 4 b} + 16 b^{2} c x + 16 b^{2} d - 8 b c \sqrt{a^{2} - 4 b}\right) e^{\frac{x \left(a - \sqrt{a^{2} - 4 b}\right)}{2}}}{- 2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} + 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} - 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} + 32 b^{3}} & \text{for}\: - 2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} + 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} - 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} + 32 b^{3} \neq 0 \\\frac{c x^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - 4 b}} + \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - 4 b}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{a x}{2}} e^{- \frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + C_{4} e^{- \frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + \left(\begin{cases} \frac{2 a^{4} c x e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} + \frac{2 a^{4} d e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} - \frac{2 a^{3} c x \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} - \frac{2 a^{3} c e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} - \frac{2 a^{3} d \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} - \frac{12 a^{2} b c x e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} - \frac{12 a^{2} b d e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} + \frac{2 a^{2} c \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} + \frac{8 a b c x \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} + \frac{8 a b c e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} + \frac{8 a b d \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} + \frac{16 b^{2} c x e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} + \frac{16 b^{2} d e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} - \frac{8 b c \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}}}{- 2 a^{6} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 18 a^{4} b e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} - 48 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + 32 b^{3} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}} & \text{for}\: - 2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} + 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} - 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} + 32 b^{3} \neq 0 \\\frac{c x^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - 4 b}} + \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - 4 b}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}} + \left(\begin{cases} - \frac{2 a^{4} c x e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} - \frac{2 a^{4} d e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} - \frac{2 a^{3} c x \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} + \frac{2 a^{3} c e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} - \frac{2 a^{3} d \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} + \frac{12 a^{2} b c x e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} + \frac{12 a^{2} b d e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} + \frac{2 a^{2} c \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} + \frac{8 a b c x \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} - \frac{8 a b c e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} + \frac{8 a b d \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} - \frac{16 b^{2} c x e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} - \frac{16 b^{2} d e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} - \frac{8 b c \sqrt{a^{2} - 4 b} e^{\frac{a x}{2}} e^{\frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}}{2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3}} & \text{for}\: 2 a^{6} + 2 a^{5} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 18 a^{4} b - 14 a^{3} b \sqrt{a^{2} - 4 b} + 48 a^{2} b^{2} + 24 a b^{2} \sqrt{a^{2} - 4 b} - 32 b^{3} \neq 0 \\- \frac{c x^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - 4 b}} - \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - 4 b}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{a x}{2}} e^{- \frac{x \sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes