Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(x + 1\right)}{x \left(x - 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(x + 1\right)}{x \left(x - 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{x + 1}{x \left(x - 1\right)}\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \left(x - 2 + \frac{1}{x}\right)$$