Ecuación diferencial xdy-(y+xy^3(1+log(e)))dx

Tenemos la ecuación:
$$- 2 x y^{3}{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- 2 x^{4} u^{3}{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- 2 x^{4} u^{3}{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 2 u^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 2 u^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u^{3}{\left(x \right)}} = - x^{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u^{3}{\left(x \right)}} = - dx x^{2}$$
o
$$- \frac{du}{2 u^{3}{\left(x \right)}} = - dx x^{2}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{2 u^{3}}\right)\, du = \int \left(- x^{2}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{4 u^{2}} = Const - \frac{x^{3}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{3}}}}{2}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{3}}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{6} x \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{3}}}}{2}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{6} x \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{3}}}}{2}$$