Sr Examen
Ecuación diferencial dx*(y^2+2)+dy*(3*x^2*y+3*y)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 2 d
2 + y (x) + 3*--(y(x))*y(x) + 3*x *--(y(x))*y(x) = 0
dx dx
$$3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 3 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 = 0$$
3*x^2*y*y' + y^2 + 3*y*y' + 2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 3 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 2}{3 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)} + 2}{3 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{3 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{3 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{3 dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{3 y}{y^{2} + 2}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{3 \log{\left(y^{2} + 2 \right)}}{2} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}} - 2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}} - 2}$$
$$3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 3 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 2}{3 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)} + 2}{3 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{3 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{3 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{3 dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{3 y}{y^{2} + 2}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{3 \log{\left(y^{2} + 2 \right)}}{2} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}} - 2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}} - 2}$$
Respuesta
[src]
_____________________
/ -2*atan(x)
/ ----------
/ 3
y(x) = -\/ -2 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}} - 2}$$
_____________________
/ -2*atan(x)
/ ----------
/ 3
y(x) = \/ -2 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}} - 2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7174766975086385)
(-5.555555555555555, 0.6572419687208103)
(-3.333333333333333, 0.5049180888511646)
(-1.1111111111111107, -4.27068317570996e-09)
(1.1111111111111107, 2.44844136553879e+184)
(3.333333333333334, 3.543704609763764e-33)
(5.555555555555557, 8.735934836677909e+189)
(7.777777777777779, 2.5718481162063698e+151)
(10.0, -3.127441380144104e-210)
(10.0, -3.127441380144104e-210)