Sr Examen

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Ecuación diferencial xydy-(x2+y2)dx=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

⌨

Ha introducido [src]

             d                
-x2 - y2 + x*--(y(x))*y(x) = 0
             dx

x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x_{2} - y_{2} = 0

x*y*y' - x2 - y2 = 0

Solución detallada

Tenemos la ecuación:

x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x_{2} - y_{2} = 0

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde

\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1

\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1

\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}

\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{x_{2} + y_{2}}{y{\left(x \right)}}

Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)

- \frac{x_{2} + y_{2}}{y{\left(x \right)}}

obtendremos

- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{2} + y_{2}} = - \frac{1}{x}

Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así

- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{2} + y_{2}} = - \frac{dx}{x}

- \frac{dy y{\left(x \right)}}{x_{2} + y_{2}} = - \frac{dx}{x}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.

\int \left(- \frac{y}{x_{2} + y_{2}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx

Tomemos estas integrales

- \frac{y^{2}}{2 x_{2} + 2 y_{2}} = Const - \log{\left(x \right)}

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:

\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + x_{2} \log{\left(x \right)} + y_{2} \log{\left(x \right)}}

\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + x_{2} \log{\left(x \right)} + y_{2} \log{\left(x \right)}}

Respuesta [src]

          ___   ____________________________
y(x) = -\/ 2 *\/ C1 + x2*log(x) + y2*log(x)

y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + x_{2} \log{\left(x \right)} + y_{2} \log{\left(x \right)}}

Trazar el gráfico con C=-1

Trazar el gráfico con C=0

Trazar el gráfico con C=1

         ___   ____________________________
y(x) = \/ 2 *\/ C1 + x2*log(x) + y2*log(x)

y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + x_{2} \log{\left(x \right)} + y_{2} \log{\left(x \right)}}

Trazar el gráfico con C=-1

Trazar el gráfico con C=0

Trazar el gráfico con C=1

Clasificación

separable

1st exact

Bernoulli

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral