Ecuación diferencial xydy=(y^(2)+x)dx

Ha introducido [src]

  d                    2   
x*--(y(x))*y(x) = x + y (x)
  dx

x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + y^{2}{\left(x \right)}

x*y*y' = x + y^2

Solución detallada

Tenemos la ecuación:

x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x - y^{2}{\left(x \right)} = 0

Sustituimos

u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}

y porque

y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}

entonces

\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}

sustituimos

- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - x = 0

o

x^{3} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x = 0

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde

\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1

\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1

\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}

\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{1}{u{\left(x \right)}}

Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)

- \frac{1}{u{\left(x \right)}}

obtendremos

- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}

Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así

- dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x^{2}}

o

- du u{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x^{2}}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.

\int \left(- u\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx

Tomemos estas integrales

- \frac{u^{2}}{2} = Const + \frac{1}{x}

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:

\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - \frac{2}{x}}

\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - \frac{2}{x}}

hacemos cambio inverso

y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}

y1 = y(x) = - x \sqrt{C_{1} - \frac{2}{x}}

y2 = y(x) = x \sqrt{C_{1} - \frac{2}{x}}

Respuesta [src]

          _______________
y(x) = -\/ x*(-2 + C1*x)

y{\left(x \right)} = - \sqrt{x \left(C_{1} x - 2\right)}

Trazar el gráfico con C=-1

Trazar el gráfico con C=0

Trazar el gráfico con C=1

         _______________
y(x) = \/ x*(-2 + C1*x)

y{\left(x \right)} = \sqrt{x \left(C_{1} x - 2\right)}

Trazar el gráfico con C=-1

Trazar el gráfico con C=0

Trazar el gráfico con C=1

Gráfico para el problema de Cauchy

Clasificación

1st exact

Bernoulli

almost linear

lie group

1st exact Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral

Respuesta numérica [src]

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 1.948606691677809)

(-5.555555555555555, 2.2609473512260174)

(-3.333333333333333, 2.1229564812196404)

(-1.1111111111111107, 1.4079249634509499)

(1.1111111111111107, -49499452.783808574)

(3.333333333333334, -148498358.3514259)

(5.555555555555557, -247497263.91904318)

(7.777777777777779, -346496169.48666036)

(10.0, -445495075.0542776)

(10.0, -445495075.0542776)