Sr Examen
Ecuación diferencial x(1-xy)dy=y(1+xy)dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d 2 x*--(y(x)) - x *--(y(x))*y(x) = x*y (x) + y(x) dx dx
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y^{2}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}$$
-x^2*y*y' + x*y' = x*y^2 + y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x y^{2}{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$- x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{2 u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{2 u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u - 1}{2 u}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} x^{2}\right)$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{W\left(C_{1} x^{2}\right)}{x}$$
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x y^{2}{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$- x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{2 u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{2 u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}{2 u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u - 1}{2 u}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} x^{2}\right)$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{W\left(C_{1} x^{2}\right)}{x}$$
Respuesta
[src]
/ 2\
-W\C1*x /
y(x) = ----------
x
$$y{\left(x \right)} = - \frac{W\left(C_{1} x^{2}\right)}{x}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.9074698553551056)
(-5.555555555555555, 1.1649359883858845)
(-3.333333333333333, 1.6787056667784424)
(-1.1111111111111107, 3.4096419176178263)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)