Ecuación diferencial dy/dx=(-2r+3y+1)/(x-1)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{- 2 r + 3 y{\left(x \right)} + 1}{x - 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 2 r + 3 y{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 2 r + 3 y{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{- 2 r + 3 y{\left(x \right)} + 1} = \frac{1}{x - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{- 2 r + 3 y{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{x - 1}$$
o
$$\frac{dy}{- 2 r + 3 y{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{x - 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{- 2 r + 3 y + 1}\, dy = \int \frac{1}{x - 1}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(- 2 r + 3 y + 1 \right)}}{3} = Const + \log{\left(x - 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x^{3}}{3} - C_{1} x^{2} + C_{1} x - \frac{C_{1}}{3} + \frac{2 r}{3} - \frac{1}{3}$$