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Ecuaciones diferenciales/ dy/dx+2y/x=1/x^2

Ecuación diferencial dy/dx+2y/x=1/x^2

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior
⌨

Solución

Ha introducido [src] 
2*y(x)   d          1 
------ + --(y(x)) = --
  x      dx          2
                    x
ddxy(x)+2y(x)x=1x2\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{2 y{\left(x \right)}}{x} = \frac{1}{x^{2}} 
y' + 2*y/x = x^(-2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
ddxy(x)+2y(x)x=1x2\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{2 y{\left(x \right)}}{x} = \frac{1}{x^{2}}
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = Q(x)

donde
P(x)=2xP{\left(x \right)} = \frac{2}{x}
y
Q(x)=1x2Q{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}
y se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y' + P(x)y = 0

con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos

dyy=−P(x)dx\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx, con y no igual a 0
∫1y dy=−∫P(x) dx\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx
log⁡(∣y∣)=−∫P(x) dx\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx
O,
∣y∣=e−∫P(x) dx\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
Por eso,
y1=e−∫P(x) dxy_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
y2=−e−∫P(x) dxy_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
∫P(x) dx\int P{\left(x \right)}\, dx
Como
P(x)=2xP{\left(x \right)} = \frac{2}{x}, entonces
∫P(x) dx\int P{\left(x \right)}\, dx =
= ∫2x dx=2log⁡(x)+Const\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \log{\left(x \right)} + Const
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
y1=eC1x2y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{x^{2}}
y2=−eC2x2y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{x^{2}}
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
y=Cx2y = \frac{C}{x^{2}}
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y' + P(x)y = Q(x)

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x

y=C(x)x2y = \frac{C{\left(x \right)}}{x^{2}}
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
ddxC(x)=Q(x)e∫P(x) dx\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
ddxC(x)=1\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = 1
Es decir, C(x) =
∫1 dx=x+Const\int 1\, dx = x + Const
Solución detallada de la integral
sustituimos C(x) en
y=C(x)x2y = \frac{C{\left(x \right)}}{x^{2}}
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
x+Constx2\frac{x + Const}{x^{2}}
Respuesta [src] 
           C1
       1 + --
           x 
y(x) = ------
         x
y(x)=C1x+1xy{\left(x \right)} = \frac{\frac{C_{1}}{x} + 1}{x}
Construir el gráfico con C=-1
Construir el gráfico con C=0
Construir el gráfico con C=1
Clasificación
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
separable reduced
lie group
nth linear euler eq nonhomogeneous undetermined coefficients
nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
separable reduced Integral
nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters Integral
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