Sr Examen
Ecuación diferencial dx/cos^2xcosy=cotxsinydy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
cos(y(x)) d
--------- = --(y(x))*cot(x)*sin(y(x))
2 dx
cos (x)
$$\frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
cos(y)/cos(x)^2 = sin(y)*cot(x)*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
o
$$dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \tan{\left(y \right)}\, dy = \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\cos{\left(y \right)} \right)} = Const + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} e^{- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} e^{- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}} \right)}$$
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
o
$$dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \tan{\left(y \right)}\, dy = \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\cos{\left(y \right)} \right)} = Const + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} e^{- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} e^{- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ -1 \
| ---------|
| 2 |
| 2*cos (x)|
y(x) = - acos\C1*e / + 2*pi
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} e^{- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}} \right)} + 2 \pi$$
/ -1 \
| ---------|
| 2 |
| 2*cos (x)|
y(x) = acos\C1*e /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} e^{- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.5707963267949183)
(-5.555555555555555, 1.5707963269421805)
(-3.333333333333333, 1.5707963270285124)
(-1.1111111111111107, 1.5707963269015288)
(1.1111111111111107, 1.5707963267745453)
(3.333333333333334, 1.5707963266475615)
(5.555555555555557, 1.570796326520578)
(7.777777777777779, 1.5707963263935945)
(10.0, 1.5707963263299471)
(10.0, 1.5707963263299471)