Ecuación diferencial dz/dx=z+1-1/(z+1)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} z{\left(x \right)} = z{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{z{\left(x \right)} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(z)*z' = f2(x)*g2(z),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(z \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(z \right)} = \frac{\left(z{\left(x \right)} + 2\right) z{\left(x \right)}}{z{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(z)/g2(z)*z'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(z)
$$\frac{\left(z{\left(x \right)} + 2\right) z{\left(x \right)}}{z{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(z{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} z{\left(x \right)}}{\left(z{\left(x \right)} + 2\right) z{\left(x \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y z.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(z{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} z{\left(x \right)}}{\left(z{\left(x \right)} + 2\right) z{\left(x \right)}} = dx$$
o
$$\frac{dz \left(z{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(z{\left(x \right)} + 2\right) z{\left(x \right)}} = dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por z,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{z + 1}{z \left(z + 2\right)}\, dz = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con z
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(z^{2} + 2 z \right)}}{2} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica z.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{z_{1}} = z{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1} - 1$$
$$\operatorname{z_{2}} = z{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{2 x} + 1} - 1$$