Sr Examen
Ecuación diferencial z=3sinxdx+4xydy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
z = 3*sin(x) + 4*x*--(y(x))*y(x)
dx
$$z = 4 x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$$
z = 4*x*y*y' + 3*sin(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$4 x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} = z$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{z - 3 \sin{\left(x \right)}}{4 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{z - 3 \sin{\left(x \right)}}{4 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(z - 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{4 x}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(z - 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{4 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \frac{z - 3 \sin{\left(x \right)}}{4 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{z \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \operatorname{Si}{\left(x \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 2 z \log{\left(x \right)} - 6 \operatorname{Si}{\left(x \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 2 z \log{\left(x \right)} - 6 \operatorname{Si}{\left(x \right)}}}{2}$$
$$4 x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} = z$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{z - 3 \sin{\left(x \right)}}{4 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{z - 3 \sin{\left(x \right)}}{4 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(z - 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{4 x}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(z - 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{4 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \frac{z - 3 \sin{\left(x \right)}}{4 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{z \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \operatorname{Si}{\left(x \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 2 z \log{\left(x \right)} - 6 \operatorname{Si}{\left(x \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 2 z \log{\left(x \right)} - 6 \operatorname{Si}{\left(x \right)}}}{2}$$
Respuesta
[src]
___________________________
-\/ C1 - 6*Si(x) + 2*z*log(x)
y(x) = -------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 2 z \log{\left(x \right)} - 6 \operatorname{Si}{\left(x \right)}}}{2}$$
___________________________
\/ C1 - 6*Si(x) + 2*z*log(x)
y(x) = -----------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 2 z \log{\left(x \right)} - 6 \operatorname{Si}{\left(x \right)}}}{2}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral