x^3+x^2-x-1=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(- x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$\left(- x + \left(\left(x^{2} + \left(x^{3} - 1\right)\right) - 1\right)\right) + 1 = 0$$
o
$$\left(- x + \left(\left(x^{2} + \left(x^{3} - 1^{3}\right)\right) - 1^{2}\right)\right) + 1 = 0$$
$$- (x - 1) + \left(\left(x^{2} - 1^{2}\right) + \left(x^{3} - 1^{3}\right)\right) = 0$$
$$- (x - 1) + \left(\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) + \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 1\right) \left(\left(\left(x + 1\right) + \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right)\right) - 1\right) = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x + 1\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (1) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = -2/2/(1)

$$x_{2} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + x^2 - x - 1 = 0:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$