Tenemos la ecuación
$$y y^{4} = \left(y^{1}\right)^{2}$$
Evidentemente:
y0 = 0
luego,
cambiamos
$$y^{3} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{y^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$y = 1$$
Obtenemos la respuesta: y = 1
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = y$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = y$$
$$y = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
y0 = 0
$$y_{1} = 1$$
$$y_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$y_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$