Sr Examen

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yy^4=(y^1)^2 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
           2
   4   / 1\ 
y*y  = \y / 
$$y y^{4} = \left(y^{1}\right)^{2}$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$y y^{4} = \left(y^{1}\right)^{2}$$
Evidentemente:
y0 = 0

luego,
cambiamos
$$y^{3} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{y^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$y = 1$$
Obtenemos la respuesta: y = 1

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = y$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = y$$
$$y = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
y0 = 0

$$y_{1} = 1$$
$$y_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$y_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces [src]
suma
              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
1 + - - - ------- + - - + -------
      2      2        2      2   
$$\left(1 + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
  /          ___\ /          ___\
  |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
0*|- - - -------|*|- - + -------|
  \  2      2   / \  2      2   /
$$0 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
0
Respuesta rápida [src]
y1 = 0
$$y_{1} = 0$$
y2 = 1
$$y_{2} = 1$$
               ___
       1   I*\/ 3 
y3 = - - - -------
       2      2   
$$y_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
               ___
       1   I*\/ 3 
y4 = - - + -------
       2      2   
$$y_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
y4 = -1/2 + sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica [src]
y1 = 0.0
y2 = 1.0
y3 = -0.5 + 0.866025403784439*i
y4 = -0.5 - 0.866025403784439*i
y4 = -0.5 - 0.866025403784439*i