tg^2x=-1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = -1$$
cambiamos
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
$$\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = i$$
$$w_{2} = - i$$
hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(i \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \infty i$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(- i \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \infty i$$