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cos(2*x)+sin(x)+5=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
cos(2*x) + sin(x) + 5 = 0
(sin⁡(x)+cos⁡(2x))+5=0\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
(sin⁡(x)+cos⁡(2x))+5=0\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5 = 0
cambiamos
sin⁡(x)+cos⁡(2x)+5=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 5 = 0
−2sin⁡2(x)+sin⁡(x)+6=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 6 = 0
Sustituimos
w=sin⁡(x)w = \sin{\left(x \right)}
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
w1=D−b2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
w2=−D−b2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=−2a = -2
b=1b = 1
c=6c = 6
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-2) * (6) = 49

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
w1=−32w_{1} = - \frac{3}{2}
w2=2w_{2} = 2
hacemos cambio inverso
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
O
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=2πn+asin⁡(w1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}
x1=2πn+asin⁡(−32)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{3}{2} \right)}
x1=2πn−asin⁡(32)x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}
x2=2πn+asin⁡(w2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}
x2=2πn+asin⁡(2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
x2=2πn+asin⁡(2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
x3=2πn−asin⁡(w1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi
x3=2πn+π−asin⁡(−32)x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{3}{2} \right)}
x3=2πn+π+asin⁡(32)x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}
x4=2πn−asin⁡(w2)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi
x4=2πn+π−asin⁡(2)x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
x4=2πn+π−asin⁡(2)x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
Gráfica
0-80-60-40-2020406080-100100010
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
            /      ___\               /      ___\                                                
  pi        |3   \/ 5 |     pi        |3   \/ 5 |   pi        /      ___\   pi        /      ___\
- -- + I*log|- - -----| + - -- + I*log|- + -----| + -- - I*log\2 - \/ 3 / + -- - I*log\2 + \/ 3 /
  2         \2     2  /     2         \2     2  /   2                       2
(π2−ilog⁡(3+2))+(((−π2+ilog⁡(32−52))+(−π2+ilog⁡(52+32)))+(π2−ilog⁡(2−3)))\left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\pi}{2} + i \log{\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right) + \left(- \frac{\pi}{2} + i \log{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}\right)\right) + \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}\right)\right) 
=
     /      ___\        /      ___\                                      
     |3   \/ 5 |        |3   \/ 5 |        /      ___\        /      ___\
I*log|- + -----| + I*log|- - -----| - I*log\2 + \/ 3 / - I*log\2 - \/ 3 /
     \2     2  /        \2     2  /
−ilog⁡(3+2)+ilog⁡(32−52)+ilog⁡(52+32)−ilog⁡(2−3)- i \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)} + i \log{\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + i \log{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)} - i \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)} 
producto
/            /      ___\\ /            /      ___\\                                                
|  pi        |3   \/ 5 || |  pi        |3   \/ 5 || /pi        /      ___\\ /pi        /      ___\\
|- -- + I*log|- - -----||*|- -- + I*log|- + -----||*|-- - I*log\2 - \/ 3 /|*|-- - I*log\2 + \/ 3 /|
\  2         \2     2  // \  2         \2     2  // \2                    / \2                    /
(−π2+ilog⁡(32−52))(−π2+ilog⁡(52+32))(π2−ilog⁡(2−3))(π2−ilog⁡(3+2))\left(- \frac{\pi}{2} + i \log{\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right) \left(- \frac{\pi}{2} + i \log{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}\right) \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}\right) \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}\right) 
=
                                                      /          /           2\\ /          /           2\\
/          /           2\\ /          /           2\\ |          |/      ___\ || |          |/      ___\ ||
|          |/      ___\ || |          |/      ___\ || |          |\3 + \/ 5 / || |          |\3 - \/ 5 / ||
\pi - I*log\\2 + \/ 3 / //*\pi - I*log\\2 - \/ 3 / //*|pi - I*log|------------||*|pi - I*log|------------||
                                                      \          \     4      // \          \     4      //
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                     16
(π−ilog⁡((2−3)2))(π−ilog⁡((3−5)24))(π−ilog⁡((3+2)2))(π−ilog⁡((5+3)24))16\frac{\left(\pi - i \log{\left(\left(2 - \sqrt{3}\right)^{2} \right)}\right) \left(\pi - i \log{\left(\frac{\left(3 - \sqrt{5}\right)^{2}}{4} \right)}\right) \left(\pi - i \log{\left(\left(\sqrt{3} + 2\right)^{2} \right)}\right) \left(\pi - i \log{\left(\frac{\left(\sqrt{5} + 3\right)^{2}}{4} \right)}\right)}{16} 
(pi - i*log((2 + sqrt(3))^2))*(pi - i*log((2 - sqrt(3))^2))*(pi - i*log((3 + sqrt(5))^2/4))*(pi - i*log((3 - sqrt(5))^2/4))/16
Respuesta rápida [src] 
                 /      ___\
       pi        |3   \/ 5 |
x1 = - -- + I*log|- - -----|
       2         \2     2  /
x1=−π2+ilog⁡(32−52)x_{1} = - \frac{\pi}{2} + i \log{\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} 
                 /      ___\
       pi        |3   \/ 5 |
x2 = - -- + I*log|- + -----|
       2         \2     2  /
x2=−π2+ilog⁡(52+32)x_{2} = - \frac{\pi}{2} + i \log{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)} 
     pi        /      ___\
x3 = -- - I*log\2 - \/ 3 /
     2
x3=π2−ilog⁡(2−3)x_{3} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)} 
     pi        /      ___\
x4 = -- - I*log\2 + \/ 3 /
     2
x4=π2−ilog⁡(3+2)x_{4} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)} 
x4 = pi/2 - i*log(sqrt(3) + 2)
Respuesta numérica [src] 
x1 = -1.5707963267949 - 0.962423650119207*i
x2 = -1.5707963267949 + 0.962423650119207*i
x3 = 1.5707963267949 + 1.31695789692482*i
x4 = 1.5707963267949 - 1.31695789692482*i
x4 = 1.5707963267949 - 1.31695789692482*i
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