sinx-cos2x=-sqrt(2) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = - \sqrt{2}$$
cambiamos
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + \sqrt{2} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 1 + \sqrt{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1 + \sqrt{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (2) * (-1 + sqrt(2)) = 9 - 8*sqrt(2)

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{9 - 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$