(x+2)^4+x^4=82 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$x^{4} + \left(x + 2\right)^{4} = 82$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$2 \left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x^{2} + 2 x + 11\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 x - 2 = 0$$
$$x + 3 = 0$$
$$x^{2} + 2 x + 11 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 2 / (2)

Obtenemos la respuesta: x1 = 1
2.
$$x + 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -3$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -3
3.
$$x^{2} + 2 x + 11 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = 11$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (11) = -40

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = -1 + \sqrt{10} i$$
$$x_{4} = -1 - \sqrt{10} i$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{10} i$$
$$x_{4} = -1 - \sqrt{10} i$$