2*sin(x)^(3)-2sin(x)+cos(x)^(2)=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(2 \sin^{3}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
cambiamos
$$\left(1 - 2 \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$2 w^{3} - w^{2} - 2 w + 1 = 0$$
cambiamos
$$\left(- 2 w + \left(\left(- w^{2} + \left(2 w^{3} - 2\right)\right) + 1\right)\right) + 2 = 0$$
o
$$\left(- 2 w + \left(\left(- w^{2} + \left(2 w^{3} - 2 \cdot 1^{3}\right)\right) + 1^{2}\right)\right) + 2 = 0$$
$$- 2 \left(w - 1\right) + \left(- (w^{2} - 1^{2}) + 2 \left(w^{3} - 1^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 2 \left(w - 1\right) + \left(- (w - 1) \left(w + 1\right) + 2 \left(w - 1\right) \left(\left(w^{2} + w\right) + 1^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -1 + w fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(w - 1\right) \left(\left(- (w + 1) + 2 \left(\left(w^{2} + w\right) + 1^{2}\right)\right) - 2\right) = 0$$
o
$$\left(w - 1\right) \left(2 w^{2} + w - 1\right) = 0$$
entonces:
$$w_{1} = 1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$2 w^{2} + w - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
$$w_{3} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es para 1 - sin(x)^2 - 2*sin(x) + 2*sin(x)^3 = 0:
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
$$w_{3} = -1$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{3} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{5} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{5} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{6} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{3} \right)} + \pi$$
$$x_{6} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
$$x_{6} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$