Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x^4+2*x^2-8=0
-
Ecuación x*(x^2+8*x+16)=5*(x+4)
-
Ecuación -25-x=-17
-
Ecuación x^2+3x=4
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -18*x-2*y=9
- -14*x+10*y=19
- -9*x+1*y=3
- -17*x+1*y=-11
-
Expresiones idénticas
- x^ tres - ocho /(- uno -sqrt(tres)*i)= cero
- x al cubo menos 8 dividir por ( menos 1 menos raíz cuadrada de (3) multiplicar por i) es igual a 0
- x en el grado tres menos ocho dividir por ( menos uno menos raíz cuadrada de (tres) multiplicar por i) es igual a cero
- x^3-8/(-1-√(3)*i)=0
- x3-8/(-1-sqrt(3)*i)=0
- x3-8/-1-sqrt3*i=0
- x³-8/(-1-sqrt(3)*i)=0
- x en el grado 3-8/(-1-sqrt(3)*i)=0
- x^3-8/(-1-sqrt(3)i)=0
- x3-8/(-1-sqrt(3)i)=0
- x3-8/-1-sqrt3i=0
- x^3-8/-1-sqrt3i=0
- x^3-8/(-1-sqrt(3)*i)=O
- x^3-8 dividir por (-1-sqrt(3)*i)=0
-
Expresiones semejantes
- x^3-8/(1-sqrt(3)*i)=0
- x^3-8/(-1+sqrt(3)*i)=0
- x^3+8/(-1-sqrt(3)*i)=0
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2*x+3)=x
- sqrt(-72+17*x)=x
- sqrt(6+x-x^2)=1-x
- sqrt(cos(x)-1)=0
- sqrt(x+3)=x+3
x^3-8/(-1-sqrt(3)*i)=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
3 8
x - ------------ = 0
___
-1 - \/ 3 *I
$$x^{3} - \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i} = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x^{3} - \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}}$$
o
$$x = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{-1 - \sqrt{3} i}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Sumamos los términos semejantes en el miembro derecho de la ecuación:
Obtenemos la respuesta: x = 2*(-1/(1 + i*sqrt(3)))^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}$$
donde
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = \frac{2}{-1 - \sqrt{3} i}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{2}{-1 - \sqrt{3} i}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{9}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x^{3} - \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}}$$
o
$$x = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{-1 - \sqrt{3} i}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = 2*1/-2*1+2*i*sqrt+2*3))^1/3
Sumamos los términos semejantes en el miembro derecho de la ecuación:
x = 2*(1/(-1 - i*sqrt(3)))^(1/3)
Obtenemos la respuesta: x = 2*(-1/(1 + i*sqrt(3)))^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}$$
donde
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = \frac{2}{-1 - \sqrt{3} i}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{2}{-1 - \sqrt{3} i}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{9}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{8}{-1 - \sqrt{3} i}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\ / 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\
| 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\ | \ 9 / \ 9 /| \ 9 / \ 9 / | \ 9 / \ 9 /| \ 9 / \ 9 /
2 *cos|----| + I*2 *sin|----| + I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + -------------------- + I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------
\ 9 / \ 9 / \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2
$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right)\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right)\right)$$
=
/ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ / 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| | \ 9 / \ 9 /| | \ 9 / \ 9 /| 2/3 /2*pi\ I*|- -------------- + --------------------| + I*|- -------------- - --------------------| + I*2 *sin|----| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 9 /
$$i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right) + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right) + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
producto
/ / 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ / / 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\
| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|| | | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----||
/ 2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\\ | | \ 9 / \ 9 /| \ 9 / \ 9 /| | | \ 9 / \ 9 /| \ 9 / \ 9 /|
|2 *cos|----| + I*2 *sin|----||*|I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + --------------------|*|I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------|
\ \ 9 / \ 9 // \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 /
$$\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right)\right)$$
=
3 /2*pi\ 3/2*pi\ 3/2*pi\ 2/2*pi\ /2*pi\ - - - 3*cos|----| + 4*cos |----| - 4*I*sin |----| + 12*I*cos |----|*sin|----| 2 \ 9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 /
$$- 3 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \frac{3}{2} + 4 \cos^{3}{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 4 i \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 12 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
-3/2 - 3*cos(2*pi/9) + 4*cos(2*pi/9)^3 - 4*i*sin(2*pi/9)^3 + 12*i*cos(2*pi/9)^2*sin(2*pi/9)
Respuesta rápida
[src]
2/3 /2*pi\ 2/3 /2*pi\
x1 = 2 *cos|----| + I*2 *sin|----|
\ 9 / \ 9 /
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
/ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\
| 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
| \ 9 / \ 9 /| \ 9 / \ 9 /
x2 = I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + --------------------
\ 2 2 / 2 2
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right)$$
/ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\\ 2/3 /2*pi\ 2/3 ___ /2*pi\
| 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
| \ 9 / \ 9 /| \ 9 / \ 9 /
x3 = I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------
\ 2 2 / 2 2
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right)$$
x3 = -2^(2/3)*sqrt(3)*sin(2*pi/9)/2 - 2^(2/3)*cos(2*pi/9)/2 + i*(-2^(2/3)*sin(2*pi/9)/2 + 2^(2/3)*sqrt(3)*cos(2*pi/9)/2)
Respuesta numérica
[src]
x1 = 1.21601975486146 + 1.02036172780854*i
x2 = -1.49166905476231 + 0.542923135309481*i
x3 = 0.275649299900846 - 1.56328486311802*i
x3 = 0.275649299900846 - 1.56328486311802*i