Tenemos la ecuación
$$\sqrt{- x} = x + 6$$
$$\sqrt{- x} = x + 6$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- x = \left(x + 6\right)^{2}$$
$$- x = x^{2} + 12 x + 36$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} - 13 x - 36 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = -13$$
$$c = -36$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-13)^2 - 4 * (-1) * (-36) = 25
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = -4$$
Como
$$\sqrt{- x} = x + 6$$
y
$$\sqrt{- x} \geq 0$$
entonces
$$x + 6 \geq 0$$
o
$$-6 \leq x$$
$$x < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = -4$$