Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 2x^2-x-1=x^2-5x-(-1-x^2)
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Ecuación x^2+4=5x
-
Ecuación x(x^2+2x+1)=6(x+1)
-
Ecuación 4x+1=-3x+15
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -6*x-20*y=8
- 13*x-12*y=19
- -9*x+11*y=9
- -4*x-8*y=-20
-
Expresiones idénticas
- cos7(x)+cos(x)= cero
- coseno de 7(x) más coseno de (x) es igual a 0
- coseno de 7(x) más coseno de (x) es igual a cero
- cos7x+cosx=0
- cos7(x)+cos(x)=O
-
Expresiones semejantes
- cos7(x)-cos(x)=0
- cos7x+cosx=2cos3x(sin2x-1)
- cos7(x)+cosx=0
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)=-(4/5)
- cos(x+(pi/6))=-1
- cos(3*x)=1
- cos(x)=-3/2
- cos(x)=1/2
cos7(x)+cos(x)=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
7 cos (x) + cos(x) = 0
$$\cos^{7}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\cos^{7}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
cambiamos
$$\cos^{7}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$\cos^{7}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$w^{7} + w = 0$$
Evidentemente:
luego,
cambiamos
$$\frac{1}{w^{6}} = -1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -6 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{6}} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 6 i p}}{r^{6}} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 6 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
y
$$- \sin{\left(6 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \frac{\pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = i$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$\cos^{7}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
cambiamos
$$\cos^{7}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$\cos^{7}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$w^{7} + w = 0$$
Evidentemente:
w0 = 0
luego,
cambiamos
$$\frac{1}{w^{6}} = -1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -6 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{6}} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 6 i p}}{r^{6}} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 6 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
y
$$- \sin{\left(6 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \frac{\pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
w0 = 0
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = i$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
Respuesta rápida
[src]
pi
x1 = --
2
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
3*pi
x2 = ----
2
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
pi / ___\
x3 = -- - I*log\1 + \/ 2 /
2
$$x_{3} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
pi / ___\
x4 = -- + I*log\1 + \/ 2 /
2
$$x_{4} = \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
3*pi / ___\
x5 = ---- - I*log\1 + \/ 2 /
2
$$x_{5} = \frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
3*pi / ___\
x6 = ---- + I*log\1 + \/ 2 /
2
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| | I \/ 3 || | | I \/ 3 ||
x7 = - re|acos|- - - -----|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -----||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
$$x_{7} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| |I \/ 3 || | |I \/ 3 ||
x8 = - re|acos|- - -----|| + 2*pi - I*im|acos|- - -----||
\ \2 2 // \ \2 2 //
$$x_{8} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___ \\ / / ___ \\
| |\/ 3 I|| | |\/ 3 I||
x9 = - re|acos|----- - -|| + 2*pi - I*im|acos|----- - -||
\ \ 2 2// \ \ 2 2//
$$x_{9} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| |I \/ 3 || | |I \/ 3 ||
x10 = - re|acos|- + -----|| + 2*pi - I*im|acos|- + -----||
\ \2 2 // \ \2 2 //
$$x_{10} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| | I \/ 3 || | | I \/ 3 ||
x11 = I*im|acos|- - - -----|| + re|acos|- - - -----||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
$$x_{11} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| |I \/ 3 || | |I \/ 3 ||
x12 = I*im|acos|- - -----|| + re|acos|- - -----||
\ \2 2 // \ \2 2 //
$$x_{12} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___ \\ / / ___ \\
| |\/ 3 I|| | |\/ 3 I||
x13 = I*im|acos|----- - -|| + re|acos|----- - -||
\ \ 2 2// \ \ 2 2//
$$x_{13} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| |I \/ 3 || | |I \/ 3 ||
x14 = I*im|acos|- + -----|| + re|acos|- + -----||
\ \2 2 // \ \2 2 //
$$x_{14} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)}\right)}$$
x14 = re(acos(sqrt(3)/2 + i/2)) + i*im(acos(sqrt(3)/2 + i/2))
Respuesta numérica
[src]
x1 = 48.6946861306418
x2 = 92.6769832808989
x3 = 86.3937979737193
x4 = -7.85398163397448
x5 = -86.3937979737193
x6 = 1.5707963267949
x7 = -64.4026493985908
x8 = -58.1194640914112
x9 = -83.2522053201295
x10 = -54.9778714378214
x11 = 54.9778714378214
x12 = 89.5353906273091
x13 = -20.4203522483337
x14 = 32.9867228626928
x15 = -17.2787595947439
x16 = 23.5619449019235
x17 = -45.553093477052
x18 = 64.4026493985908
x19 = 45.553093477052
x20 = 83.2522053201295
x21 = -29.845130209103
x22 = -51.8362787842316
x23 = 80.1106126665397
x24 = -39.2699081698724
x25 = -92.6769832808989
x26 = 4.71238898038469
x27 = 70.6858347057703
x28 = 36.1283155162826
x29 = -70.6858347057703
x30 = -48.6946861306418
x31 = 42.4115008234622
x32 = -42.4115008234622
x33 = -67.5442420521806
x34 = 10.9955742875643
x35 = 98.9601685880785
x36 = -23.5619449019235
x37 = 20.4203522483337
x38 = -61.261056745001
x39 = -10.9955742875643
x40 = 17.2787595947439
x41 = -95.8185759344887
x42 = -36.1283155162826
x43 = 61.261056745001
x44 = 73.8274273593601
x45 = 14.1371669411541
x46 = -26.7035375555132
x47 = 51.8362787842316
x48 = -89.5353906273091
x49 = 39.2699081698724
x50 = -32.9867228626928
x51 = -14.1371669411541
x52 = -4.71238898038469
x53 = -76.9690200129499
x54 = 95.8185759344887
x55 = 76.9690200129499
x56 = 58.1194640914112
x57 = -80.1106126665397
x58 = -73.8274273593601
x59 = 7.85398163397448
x60 = -1.5707963267949
x61 = 29.845130209103
x62 = 67.5442420521806
x63 = 26.7035375555132
x64 = -98.9601685880785
x64 = -98.9601685880785