Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.
La ecuación se convierte de
$$\log{\left(\frac{2}{3} \right)} = x x - 16$$
en
$$\left(- x x + 16\right) + \log{\left(\frac{2}{3} \right)} = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(- x x + 16\right) + \log{\left(\frac{2}{3} \right)} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$- x x - \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)} + 16 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = - \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)} + 16$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (-1) * (16 - log(3) + log(2)) = 64 - 4*log(3) + 4*log(2)
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 4 \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)} + 64}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{- 4 \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)} + 64}}{2}$$