sqrt(5x)-sgrt(14-x)=8 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{5 x} - \sqrt{14 - x} = 8$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{5} \sqrt{x} - \sqrt{14 - x}\right)^{2} = 64$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(14 - x\right) + \left(x \left(\sqrt{5}\right)^{2} + \left(-1\right) 2 \sqrt{5} \sqrt{x \left(14 - x\right)}\right) = 64$$
o
$$4 x - 2 \sqrt{5} \sqrt{- x^{2} + 14 x} + 14 = 64$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{5} \sqrt{- x^{2} + 14 x} = 50 - 4 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 20 x^{2} + 280 x = \left(50 - 4 x\right)^{2}$$
$$- 20 x^{2} + 280 x = 16 x^{2} - 400 x + 2500$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 36 x^{2} + 680 x - 2500 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -36$$
$$b = 680$$
$$c = -2500$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(680)^2 - 4 * (-36) * (-2500) = 102400

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = \frac{125}{9}$$

Como
$$\sqrt{- x^{2} + 14 x} = \frac{2 \sqrt{5} x}{5} - 5 \sqrt{5}$$
y
$$\sqrt{- x^{2} + 14 x} \geq 0$$
entonces
$$\frac{2 \sqrt{5} x}{5} - 5 \sqrt{5} \geq 0$$
o
$$\frac{25}{2} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = \frac{125}{9}$$
comprobamos:
$$x_{1} = \frac{125}{9}$$
$$\sqrt{5} \sqrt{x_{1}} - \sqrt{14 - x_{1}} - 8 = 0$$
=
$$-8 + \left(- \sqrt{14 - \frac{125}{9}} + \sqrt{\frac{5 \cdot 125}{9}}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{125}{9}$$