Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(2/(2x^(2)-1))

Gráfico de la función y = arctg(2/(2x^(2)-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   2    \
f(x) = atan|--------|
           |   2    |
           \2*x  - 1/
f(x)=atan⁡(22x2−1)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} 
f = atan(2/(2*x^2 - 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.707106781186548x_{1} = -0.707106781186548
x2=0.707106781186548x_{2} = 0.707106781186548
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(22x2−1)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(2/(2*x^2 - 1)).
atan⁡(2−1+2⋅02)\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{-1 + 2 \cdot 0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=−atan⁡(2)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Punto:
(0, -atan(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8x(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)2=0- \frac{8 x}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -atan(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(8x22x2−1−32x2(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)3−1)(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)2=0\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−306x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6}
x2=306x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−0.707106781186548x_{1} = -0.707106781186548
x2=0.707106781186548x_{2} = 0.707106781186548

lim⁡x→−0.707106781186548−(8(8x22x2−1−32x2(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)3−1)(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)2)=0\lim_{x \to -0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0
lim⁡x→−0.707106781186548+(8(8x22x2−1−32x2(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)3−1)(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)2)=0\lim_{x \to -0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→0.707106781186548−(8(8x22x2−1−32x2(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)3−1)(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)2)=0\lim_{x \to 0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0
lim⁡x→0.707106781186548+(8(8x22x2−1−32x2(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)3−1)(1+4(2x2−1)2)(2x2−1)2)=0\lim_{x \to 0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−306]∪[306,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−306,306]\left[- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.707106781186548x_{1} = -0.707106781186548
x2=0.707106781186548x_{2} = 0.707106781186548
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(22x2−1)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(22x2−1)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(2/(2*x^2 - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(22x2−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(22x2−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(22x2−1)=atan⁡(22x2−1)\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}
- Sí
atan⁡(22x2−1)=−atan⁡(22x2−1)\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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