Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ arctg(x)\x

Gráfico de la función y = arctg(x)\x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       atan(x)
f(x) = -------
          x
f(x)=atan⁡(x)xf{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} 
f = atan(x)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x)x=0\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x)/x.
atan⁡(0)0\frac{\operatorname{atan}{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x2+1)−atan⁡(x)x2=0\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−1(x2+1)2−1x2(x2+1)+atan⁡(x)x3)=02 \left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=24074.8476839204x_{1} = 24074.8476839204
x2=39328.9082586829x_{2} = 39328.9082586829
x3=26616.9618149323x_{3} = 26616.9618149323
x4=40176.419712769x_{4} = 40176.419712769
x5=−17165.7630690841x_{5} = -17165.7630690841
x6=−14624.7872654406x_{6} = -14624.7872654406
x7=−29875.4276313394x_{7} = -29875.4276313394
x8=−26485.7613049863x_{8} = -26485.7613049863
x9=19838.4011345249x_{9} = 19838.4011345249
x10=22380.1955391774x_{10} = 22380.1955391774
x11=13909.0609135441x_{11} = 13909.0609135441
x12=−20554.4589230473x_{12} = -20554.4589230473
x13=−40045.200699405x_{13} = -40045.200699405
x14=−38350.1832294739x_{14} = -38350.1832294739
x15=30006.6352261022x_{15} = 30006.6352261022
x16=20685.6372914068x_{16} = 20685.6372914068
x17=−40892.7154604225x_{17} = -40892.7154604225
x18=−34960.2048211459x_{18} = -34960.2048211459
x19=−31570.3224135921x_{19} = -31570.3224135921
x20=−23943.6546259988x_{20} = -23943.6546259988
x21=−15471.7094086361x_{21} = -15471.7094086361
x22=−42587.7558182743x_{22} = -42587.7558182743
x23=35091.4193808263x_{23} = 35091.4193808263
x24=18144.0355110268x_{24} = 18144.0355110268
x25=41023.9350572335x_{25} = 41023.9350572335
x26=−16318.7051059726x_{26} = -16318.7051059726
x27=−34112.7240812326x_{27} = -34112.7240812326
x28=−35807.6915063267x_{28} = -35807.6915063267
x29=−19707.2277068126x_{29} = -19707.2277068126
x30=34243.9376956648x_{30} = 34243.9376956648
x31=21532.9032526334x_{31} = 21532.9032526334
x32=−28180.5714040467x_{32} = -28180.5714040467
x33=−27333.1600401366x_{33} = -27333.1600401366
x34=15602.8442113574x_{34} = 15602.8442113574
x35=−32417.7823374113x_{35} = -32417.7823374113
x36=16449.8501748613x_{36} = 16449.8501748613
x37=−36655.1837175529x_{37} = -36655.1837175529
x38=36786.3999720604x_{38} = 36786.3999720604
x39=−24791.0070298053x_{39} = -24791.0070298053
x40=33396.4623441345x_{40} = 33396.4623441345
x41=−41740.2339077835x_{41} = -41740.2339077835
x42=17296.9168753704x_{42} = 17296.9168753704
x43=−29027.9942673228x_{43} = -29027.9942673228
x44=37633.8980899723x_{44} = 37633.8980899723
x45=−18860.0311162648x_{45} = -18860.0311162648
x46=29159.2003252746x_{46} = 29159.2003252746
x47=42718.9764779462x_{47} = 42718.9764779462
x48=−23096.3211959955x_{48} = -23096.3211959955
x49=−33265.2497493132x_{49} = -33265.2497493132
x50=32548.9938302493x_{50} = 32548.9938302493
x51=24922.2028333361x_{51} = 24922.2028333361
x52=41871.4540524163x_{52} = 41871.4540524163
x53=38481.4009560817x_{53} = 38481.4009560817
x54=27464.3625756376x_{54} = 27464.3625756376
x55=−39197.6898675483x_{55} = -39197.6898675483
x56=18991.1989022647x_{56} = 18991.1989022647
x57=14755.9098946331x_{57} = 14755.9098946331
x58=28311.7757817209x_{58} = 28311.7757817209
x59=−18012.8742069935x_{59} = -18012.8742069935
x60=30854.0796138324x_{60} = 30854.0796138324
x61=31701.5327129569x_{61} = 31701.5327129569
x62=23227.5111931876x_{62} = 23227.5111931876
x63=−22249.0089679681x_{63} = -22249.0089679681
x64=−21401.7205331734x_{64} = -21401.7205331734
x65=25769.574756724x_{65} = 25769.574756724
x66=−13777.9528687106x_{66} = -13777.9528687106
x67=35938.9069439519x_{67} = 35938.9069439519
x68=−37502.6810741109x_{68} = -37502.6810741109
x69=−30722.8706098459x_{69} = -30722.8706098459
x70=−25638.3764808866x_{70} = -25638.3764808866
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−1(x2+1)2−1x2(x2+1)+atan⁡(x)x3))=−23\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = - \frac{2}{3}
lim⁡x→0+(2(−1(x2+1)2−1x2(x2+1)+atan⁡(x)x3))=−23\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = - \frac{2}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x)x=atan⁡(x)x\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}
- No
atan⁡(x)x=−atan⁡(x)x\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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