Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ arctg^2(1/(x^2−4))

Gráfico de la función y = arctg^2(1/(x^2−4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2/  1   \
f(x) = atan |------|
            | 2    |
            \x  - 4/
f(x)=atan⁡2(1x2−4)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)} 
f = atan(1/(x^2 - 4))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡2(1x2−4)=0\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(1/(x^2 - 4))^2.
atan⁡2(1−4+02)\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{-4 + 0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=atan⁡2(14)f{\left(0 \right)} = \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{4} \right)}
Punto:
(0, atan(1/4)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4xatan⁡(1x2−4)(1+1(x2−4)2)(x2−4)2=0- \frac{4 x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
        2      
(0, atan (1/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(4x2atan⁡(1x2−4)x2−4+2x2(1+1(x2−4)2)(x2−4)2−4x2atan⁡(1x2−4)(1+1(x2−4)2)(x2−4)3−atan⁡(1x2−4))(1+1(x2−4)2)(x2−4)2=0\frac{4 \left(\frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{3}} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2192.80038673447x_{1} = -2192.80038673447
x2=973.011918966819x_{2} = 973.011918966819
x3=1280.13853339472x_{3} = 1280.13853339472
x4=−2499.55769570708x_{4} = -2499.55769570708
x5=−1169.8640783696x_{5} = -1169.8640783696
x6=−348.290332826221x_{6} = -348.290332826221
x7=1177.79062797554x_{7} = 1177.79062797554
x8=2405.22644862719x_{8} = 2405.22644862719
x9=665.446434146895x_{9} = 665.446434146895
x10=562.70381723382x_{10} = 562.70381723382
x11=1024.21953910942x_{11} = 1024.21953910942
x12=−296.252212973538x_{12} = -296.252212973538
x13=408.101000198785x_{13} = 408.101000198785
x14=−2397.3083554515x_{14} = -2397.3083554515
x15=−606.14064426858x_{15} = -606.14064426858
x16=−760.107795397665x_{16} = -760.107795397665
x17=−503.279883774574x_{17} = -503.279883774574
x18=−1425.70225506308x_{18} = -1425.70225506308
x19=−1886.00766643811x_{19} = -1886.00766643811
x20=−2346.18260014419x_{20} = -2346.18260014419
x21=459.729184681486x_{21} = 459.729184681486
x22=−1579.15892212912x_{22} = -1579.15892212912
x23=2251.84714076265x_{23} = 2251.84714076265
x24=921.793283620639x_{24} = 921.793283620639
x25=1587.08047328897x_{25} = 1587.08047328897
x26=2047.32855755532x_{26} = 2047.32855755532
x27=−811.376338135048x_{27} = -811.376338135048
x28=−1272.21369170668x_{28} = -1272.21369170668
x29=819.314745520888x_{29} = 819.314745520888
x30=1996.19614962672x_{30} = 1996.19614962672
x31=870.561697985203x_{31} = 870.561697985203
x32=1433.62518807934x_{32} = 1433.62518807934
x33=2558.59915083526x_{33} = 2558.59915083526
x34=511.254137212811x_{34} = 511.254137212811
x35=1484.77995583004x_{35} = 1484.77995583004
x36=−2243.92867210584x_{36} = -2243.92867210584
x37=251.986947164547x_{37} = 251.986947164547
x38=−1323.38077376337x_{38} = -1323.38077376337
x39=−2448.4333722096x_{39} = -2448.4333722096
x40=−2295.05605696655x_{40} = -2295.05605696655
x41=2302.97439209109x_{41} = 2302.97439209109
x42=−400.093655348202x_{42} = -400.093655348202
x43=−1118.68013767305x_{43} = -1118.68013767305
x44=1075.41771189355x_{44} = 1075.41771189355
x45=2098.45977994229x_{45} = 2098.45977994229
x46=−1016.28940352763x_{46} = -1016.28940352763
x47=−1732.59215523488x_{47} = -1732.59215523488
x48=1740.51267391462x_{48} = 1740.51267391462
x49=−1528.00965161165x_{49} = -1528.00965161165
x50=1638.22678526966x_{50} = 1638.22678526966
x51=−862.625914310343x_{51} = -862.625914310343
x52=−1681.44995253779x_{52} = -1681.44995253779
x53=−913.859698631662x_{53} = -913.859698631662
x54=−1783.73240253261x_{54} = -1783.73240253261
x55=2149.58990131392x_{55} = 2149.58990131392
x56=−965.080194719043x_{56} = -965.080194719043
x57=−2090.54085039906x_{57} = -2090.54085039906
x58=1945.06246275068x_{58} = 1945.06246275068
x59=356.325819136067x_{59} = 356.325819136067
x60=304.331063214959x_{60} = 304.331063214959
x61=199.036243956251x_{61} = 199.036243956251
x62=−2550.68136760381x_{62} = -2550.68136760381
x63=−1937.14295890515x_{63} = -1937.14295890515
x64=1842.79082675193x_{64} = 1842.79082675193
x65=1791.65263460783x_{65} = 1791.65263460783
x66=716.761640626397x_{66} = 716.761640626397
x67=−657.496198025057x_{67} = -657.496198025057
x68=2354.1008103501x_{68} = 2354.1008103501
x69=−1630.30561067982x_{69} = -1630.30561067982
x70=−2141.67113641196x_{70} = -2141.67113641196
x71=−451.741132162319x_{71} = -451.741132162319
x72=768.049368568156x_{72} = 768.049368568156
x73=2507.47557595137x_{73} = 2507.47557595137
x74=1331.3049054257x_{74} = 1331.3049054257
x75=614.096923275279x_{75} = 614.096923275279
x76=−554.739773254891x_{76} = -554.739773254891
x77=−190.752975112801x_{77} = -190.752975112801
x78=−1834.87085773074x_{78} = -1834.87085773074
x79=1689.37078427002x_{79} = 1689.37078427002
x80=−243.836163251503x_{80} = -243.836163251503
x81=1382.46697024754x_{81} = 1382.46697024754
x82=1893.92739344449x_{82} = 1893.92739344449
x83=−1067.48894347188x_{83} = -1067.48894347188
x84=−1988.27685199681x_{84} = -1988.27685199681
x85=2200.71899834771x_{85} = 2200.71899834771
x86=1228.96731747796x_{86} = 1228.96731747796
x87=2456.35135559302x_{87} = 2456.35135559302
x88=−708.816199295763x_{88} = -708.816199295763
x89=1126.6077210965x_{89} = 1126.6077210965
x90=−1374.54347118903x_{90} = -1374.54347118903
x91=1535.93161762305x_{91} = 1535.93161762305
x92=−1476.85753131522x_{92} = -1476.85753131522
x93=−2039.40945086897x_{93} = -2039.40945086897
x94=−1221.0416751731x_{94} = -1221.0416751731
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(4(4x2atan⁡(1x2−4)x2−4+2x2(1+1(x2−4)2)(x2−4)2−4x2atan⁡(1x2−4)(1+1(x2−4)2)(x2−4)3−atan⁡(1x2−4))(1+1(x2−4)2)(x2−4)2)=32−2π\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{4 \left(\frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{3}} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = 32 - 2 \pi
lim⁡x→−2+(4(4x2atan⁡(1x2−4)x2−4+2x2(1+1(x2−4)2)(x2−4)2−4x2atan⁡(1x2−4)(1+1(x2−4)2)(x2−4)3−atan⁡(1x2−4))(1+1(x2−4)2)(x2−4)2)=2π+32\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{4 \left(\frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{3}} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = 2 \pi + 32
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(4(4x2atan⁡(1x2−4)x2−4+2x2(1+1(x2−4)2)(x2−4)2−4x2atan⁡(1x2−4)(1+1(x2−4)2)(x2−4)3−atan⁡(1x2−4))(1+1(x2−4)2)(x2−4)2)=2π+32\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{4 \left(\frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{3}} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = 2 \pi + 32
lim⁡x→2+(4(4x2atan⁡(1x2−4)x2−4+2x2(1+1(x2−4)2)(x2−4)2−4x2atan⁡(1x2−4)(1+1(x2−4)2)(x2−4)3−atan⁡(1x2−4))(1+1(x2−4)2)(x2−4)2)=32−2π\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4 \left(\frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{4 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{3}} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = 32 - 2 \pi
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡2(1x2−4)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡2(1x2−4)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(1/(x^2 - 4))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡2(1x2−4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡2(1x2−4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡2(1x2−4)=atan⁡2(1x2−4)\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)} = \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}
- Sí
atan⁡2(1x2−4)=−atan⁡2(1x2−4)\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)} = - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{1}{x^{2} - 4} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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