Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(x)(1)/(-x-8)

Gráfico de la función y = arctg(x)(1)/(-x-8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       atan(x)
f(x) = -------
        -x - 8
f(x)=atan⁡(x)−x−8f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{- x - 8} 
f = atan(x)/(-x - 8)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−8x_{1} = -8
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x)−x−8=0\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{- x - 8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x)/(-x - 8).
atan⁡(0)−8−0\frac{\operatorname{atan}{\left(0 \right)}}{-8 - 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1(−x−8)(x2+1)+atan⁡(x)(−x−8)2=0\frac{1}{\left(- x - 8\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(- x - 8\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.79220397552815x_{1} = 2.79220397552815
Signos de extremos en los puntos:
(2.7922039755281536, -0.11368283096444)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2.79220397552815x_{1} = 2.79220397552815
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2.79220397552815,∞)\left[2.79220397552815, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2.79220397552815]\left(-\infty, 2.79220397552815\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(x2+1)2+1(x+8)(x2+1)−atan⁡(x)(x+8)2)x+8=0\frac{2 \left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 8\right) \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 8\right)^{2}}\right)}{x + 8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−31521.1319563432x_{1} = -31521.1319563432
x2=36850.1420635955x_{2} = 36850.1420635955
x3=−22180.2257096837x_{3} = -22180.2257096837
x4=−23029.8565726949x_{4} = -23029.8565726949
x5=14218.4066744254x_{5} = 14218.4066744254
x6=30091.9751640658x_{6} = 30091.9751640658
x7=40232.7093900286x_{7} = 40232.7093900286
x8=15849.1636652623x_{8} = 15849.1636652623
x9=−13674.4476769214x_{9} = -13674.4476769214
x10=34314.5035031321x_{10} = 34314.5035031321
x11=−35764.446763439x_{11} = -35764.446763439
x12=28404.6934579158x_{12} = 28404.6934579158
x13=−27276.4647826377x_{13} = -27276.4647826377
x14=−20480.5767409287x_{14} = -20480.5767409287
x15=21674.0669492216x_{15} = 21674.0669492216
x16=30936.0392885289x_{16} = 30936.0392885289
x17=41924.5673757812x_{17} = 41924.5673757812
x18=37695.6204186343x_{18} = 37695.6204186343
x19=−39158.3804833228x_{19} = -39158.3804833228
x20=−17079.3407325684x_{20} = -17079.3407325684
x21=29248.1824418086x_{21} = 29248.1824418086
x22=−28125.5305039642x_{22} = -28125.5305039642
x23=45309.1771273636x_{23} = 45309.1771273636
x24=−34067.2557142777x_{24} = -34067.2557142777
x25=−33218.5956646301x_{25} = -33218.5956646301
x26=17500.8245734915x_{26} = 17500.8245734915
x27=−16228.5232971983x_{27} = -16228.5232971983
x28=19999.6730595706x_{28} = 19999.6730595706
x29=42770.6160606452x_{29} = 42770.6160606452
x30=24193.3831228243x_{30} = 24193.3831228243
x31=33469.5988158091x_{31} = 33469.5988158091
x32=16673.0694509039x_{32} = 16673.0694509039
x33=15030.337543137x_{33} = 15030.337543137
x34=−0.131470140355695x_{34} = -0.131470140355695
x35=18331.5656706167x_{35} = 18331.5656706167
x36=−19630.533499671x_{36} = -19630.533499671
x37=−34915.8718565828x_{37} = -34915.8718565828
x38=−18780.3249011001x_{38} = -18780.3249011001
x39=26718.783856091x_{39} = 26718.783856091
x40=−17929.9338197207x_{40} = -17929.9338197207
x41=−21330.469703212x_{41} = -21330.469703212
x42=−25578.0978557178x_{42} = -25578.0978557178
x43=−23879.3727991386x_{43} = -23879.3727991386
x44=44462.9256472809x_{44} = 44462.9256472809
x45=19164.66906714x_{45} = 19164.66906714
x46=−36612.9828951921x_{46} = -36612.9828951921
x47=25034.6345287839x_{47} = 25034.6345287839
x48=−30672.3216724669x_{48} = -30672.3216724669
x49=23352.7946130213x_{49} = 23352.7946130213
x50=39386.9126660688x_{50} = 39386.9126660688
x51=20836.2285981591x_{51} = 20836.2285981591
x52=−14526.1087430908x_{52} = -14526.1087430908
x53=−32369.8888011021x_{53} = -32369.8888011021
x54=25876.4594538372x_{54} = 25876.4594538372
x55=−37461.4825210751x_{55} = -37461.4825210751
x56=36004.7886752955x_{56} = 36004.7886752955
x57=−26427.3226038214x_{57} = -26427.3226038214
x58=−28974.5252952374x_{58} = -28974.5252952374
x59=43616.7371276068x_{59} = 43616.7371276068
x60=41078.5964938835x_{60} = 41078.5964938835
x61=−38309.9477373315x_{61} = -38309.9477373315
x62=−24728.7837637175x_{62} = -24728.7837637175
x63=27561.5458811004x_{63} = 27561.5458811004
x64=35159.5715778752x_{64} = 35159.5715778752
x65=5.63036577601527x_{65} = 5.63036577601527
x66=−15377.4558412904x_{66} = -15377.4558412904
x67=−2.21446604895742x_{67} = -2.21446604895742
x68=32624.8737835018x_{68} = 32624.8737835018
x69=46155.4874652925x_{69} = 46155.4874652925
x70=38541.2136348927x_{70} = 38541.2136348927
x71=31780.3469018313x_{71} = 31780.3469018313
x72=22512.9778857073x_{72} = 22512.9778857073
x73=−29823.4541672016x_{73} = -29823.4541672016
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−8x_{1} = -8

lim⁡x→−8−(2(x(x2+1)2+1(x+8)(x2+1)−atan⁡(x)(x+8)2)x+8)=−∞\lim_{x \to -8^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 8\right) \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 8\right)^{2}}\right)}{x + 8}\right) = -\infty
lim⁡x→−8+(2(x(x2+1)2+1(x+8)(x2+1)−atan⁡(x)(x+8)2)x+8)=∞\lim_{x \to -8^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 8\right) \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 8\right)^{2}}\right)}{x + 8}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−8x_{1} = -8
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2.21446604895742]∪[−0.131470140355695,∞)\left(-\infty, -2.21446604895742\right] \cup \left[-0.131470140355695, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−0.131470140355695]∪[5.63036577601527,∞)\left(-\infty, -0.131470140355695\right] \cup \left[5.63036577601527, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−8x_{1} = -8
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x)−x−8)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{- x - 8}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(x)−x−8)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{- x - 8}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x)/(-x - 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x)x(−x−8))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x \left(- x - 8\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x)x(−x−8))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x \left(- x - 8\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x)−x−8=−atan⁡(x)x−8\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{- x - 8} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x - 8}
- No
atan⁡(x)−x−8=atan⁡(x)x−8\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{- x - 8} = \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x - 8}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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