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atan(x)/x
Límite de la función/ tan(x)/ atan(x)/x

Límite de la función atan(x)/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /atan(x)\
 lim  |-------|
x->-oo\   x   /
lim⁡x→−∞(atan⁡(x)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) 
Limit(atan(x)/x, x, -oo)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(atan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)
Sustituimos
u=atan⁡(x)u = \operatorname{atan}{\left(x \right)}
x=tan⁡(u)x = \tan{\left(u \right)}
obtendremos
lim⁡x→0+(atan⁡(x)x)=lim⁡u→0+(atan⁡(tan⁡(u)1)1−1tan⁡(u))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \tan{\left(u \right)}}\right)
=
lim⁡u→0+(atan⁡(tan⁡(u))tan⁡(u))=lim⁡u→0+(utan⁡(u))\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\tan{\left(u \right)}}\right)
=
lim⁡u→0+11utan⁡(u)\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}
             /tan(u)\  
= 1 / (  lim |------| )
        u->0+\  u   /

cambiamos
lim⁡u→0+(tan⁡(u)u)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)ucos⁡(u))\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)lim⁡u→0+cos⁡(u)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(atan⁡(x)x)=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→−∞(atan⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(atan⁡(x)x)=1\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(atan⁡(x)x)=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(atan⁡(x)x)=π4\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{4}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(atan⁡(x)x)=π4\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{4}
Más detalles con x→1 a la derecha
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /atan(x)\
 lim |-------|
x->0+\   x   /
lim⁡x→0+(atan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) 
1
11 
= 1.0
     /atan(x)\
 lim |-------|
x->0-\   x   /
lim⁡x→0−(atan⁡(x)x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) 
1
11 
= 1.0
= 1.0
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función atan(x)/x
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