Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
-exp(-3*x)-exp(2*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt((x^ tres - uno)/(x+ uno))
- raíz cuadrada de ((x al cubo menos 1) dividir por (x más 1))
- raíz cuadrada de ((x en el grado tres menos uno) dividir por (x más uno))
- √((x^3-1)/(x+1))
- sqrt((x3-1)/(x+1))
- sqrtx3-1/x+1
- sqrt((x³-1)/(x+1))
- sqrt((x en el grado 3-1)/(x+1))
- sqrtx^3-1/x+1
- sqrt((x^3-1) dividir por (x+1))
-
Expresiones semejantes
- sqrt((x^3-1)/(x-1))
- sqrt((x^3+1)/(x+1))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(6x-1)
- sqrt(x-2)^2/(x-2)
- sqrt(x)^2-sqrt(3*x)-1
- sqrt(x)+2*x
- sqrt(3)-x/x+5
Gráfico de la función y = sqrt((x^3-1)/(x+1))
Solución
Ha introducido
[src]
________
/ 3
/ x - 1
f(x) = / ------
\/ x + 1
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}}$$
f = sqrt((x^3 - 1)/(x + 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(\frac{3 x^{2}}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{x^{3} - 1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(\frac{3 x^{2}}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{x^{3} - 1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
____________________________________________________________
/ 3
_______________ / / _______________\
/ ___ / | / ___ |
/ 81 27*\/ 2 / | / 81 27*\/ 2 |
3 / -- + -------- ___________________________________________________ / | 3 / -- + -------- |
1 3 \/ 8 4 / -1 / | 1 3 \/ 8 4 |
(- - - ---------------------- - --------------------, / ------------------------------------------------- * / 1 - |- - - ---------------------- - --------------------| )
2 _______________ 3 / _______________ / | 2 _______________ 3 |
/ ___ / / ___ / | / ___ |
/ 81 27*\/ 2 / / 81 27*\/ 2 / | / 81 27*\/ 2 |
4*3 / -- + -------- / 3 / -- + -------- / | 4*3 / -- + -------- |
\/ 8 4 / 1 3 \/ 8 4 \/ \ \/ 8 4 /
/ - - ---------------------- - --------------------
/ 2 _______________ 3
/ / ___
/ / 81 27*\/ 2
/ 4*3 / -- + --------
\/ \/ 8 4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4} + \frac{81}{8}}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} \left(- \frac{3 x^{2} \left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)}{2 \left(x^{3} - 1\right)} - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{\left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)^{2}}{4 \left(x^{3} - 1\right)} + \frac{3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{x^{3} - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} \left(- \frac{3 x^{2} \left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)}{2 \left(x^{3} - 1\right)} - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{\left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)^{2}}{4 \left(x^{3} - 1\right)} + \frac{3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{x^{3} - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} \left(- \frac{3 x^{2} \left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)}{2 \left(x^{3} - 1\right)} - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{\left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)^{2}}{4 \left(x^{3} - 1\right)} + \frac{3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{x^{3} - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + \sqrt{3} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} \left(- \frac{3 x^{2} \left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)}{2 \left(x^{3} - 1\right)} - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{\left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)^{2}}{4 \left(x^{3} - 1\right)} + \frac{3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{x^{3} - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} \left(- \frac{3 x^{2} \left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)}{2 \left(x^{3} - 1\right)} - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{\left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)^{2}}{4 \left(x^{3} - 1\right)} + \frac{3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{x^{3} - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} \left(- \frac{3 x^{2} \left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)}{2 \left(x^{3} - 1\right)} - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{\left(3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}\right)^{2}}{4 \left(x^{3} - 1\right)} + \frac{3 x^{2} - \frac{x^{3} - 1}{x + 1}}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{x^{3} - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + \sqrt{3} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x^3 - 1)/(x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = \sqrt{\frac{- x^{3} - 1}{1 - x}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = - \sqrt{\frac{- x^{3} - 1}{1 - x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = \sqrt{\frac{- x^{3} - 1}{1 - x}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 1}{x + 1}} = - \sqrt{\frac{- x^{3} - 1}{1 - x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar