Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin((2x-3)/(x+1))

Gráfico de la función y = arcsin((2x-3)/(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /2*x - 3\
f(x) = asin|-------|
           \ x + 1 /
f(x)=asin⁡(2x−3x+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x - 3}{x + 1} \right)} 
f = asin((2*x - 3)/(x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(2x−3x+1)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x - 3}{x + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=1.5x_{1} = 1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((2*x - 3)/(x + 1)).
asin⁡(−3+0⋅21)\operatorname{asin}{\left(\frac{-3 + 0 \cdot 2}{1} \right)}
Resultado:
f(0)=−asin⁡(3)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}
Punto:
(0, -asin(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+1−2x−3(x+1)21−(2x−3)2(x+1)2=0\frac{\frac{2}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{\left(x + 1\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2+(2−2x−3x+1)(2x−3)(1−(2x−3)2(x+1)2)(x+1))(2−2x−3x+1)1−(2x−3)2(x+1)2(x+1)2=0\frac{\left(-2 + \frac{\left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}\right) \left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32−536x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{6}
x2=536+32x_{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{6} + \frac{3}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−((−2+(2−2x−3x+1)(2x−3)(1−(2x−3)2(x+1)2)(x+1))(2−2x−3x+1)1−(2x−3)2(x+1)2(x+1)2)=−∞i\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{\left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}\right) \left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = - \infty i
lim⁡x→−1+((−2+(2−2x−3x+1)(2x−3)(1−(2x−3)2(x+1)2)(x+1))(2−2x−3x+1)1−(2x−3)2(x+1)2(x+1)2)=∞i\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{\left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}\right) \left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[536+32,∞)\left[\frac{5 \sqrt{3}}{6} + \frac{3}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,536+32]\left(-\infty, \frac{5 \sqrt{3}}{6} + \frac{3}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(2x−3x+1)=asin⁡(2)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x - 3}{x + 1} \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=asin⁡(2)y = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
lim⁡x→∞asin⁡(2x−3x+1)=asin⁡(2)\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x - 3}{x + 1} \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=asin⁡(2)y = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((2*x - 3)/(x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(2x−3x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x - 3}{x + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(2x−3x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x - 3}{x + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(2x−3x+1)=asin⁡(−2x−31−x)\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x - 3}{x + 1} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{- 2 x - 3}{1 - x} \right)}
- No
asin⁡(2x−3x+1)=−asin⁡(−2x−31−x)\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x - 3}{x + 1} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{- 2 x - 3}{1 - x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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