Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\left(-2 + \frac{\left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}\right) \left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{6} + \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{\left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}\right) \left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{\left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right) \left(2 x - 3\right)}{\left(1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}\right) \left(2 - \frac{2 x - 3}{x + 1}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5 \sqrt{3}}{6} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5 \sqrt{3}}{6} + \frac{3}{2}\right]$$