Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^(sin(x))

Gráfico de la función y = e^(sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        sin(x)
f(x) = E
f(x)=esin⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{\sin{\left(x \right)}} 
f = E^sin(x)
Gráfico de la función
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.00.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
esin⁡(x)=0e^{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^sin(x).
esin⁡(0)e^{\sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
esin⁡(x)cos⁡(x)=0e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi    -1 
(----, e  )
  2        

 pi    
(--, E)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−sin⁡(x)+cos⁡2(x))esin⁡(x)=0\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−2−1+52−i(1−5)2)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} - \frac{i \left(1 - \sqrt{5}\right)}{2} \right)}
x2=−ilog⁡(2−1+52−i(1−5)2)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} - \frac{i \left(1 - \sqrt{5}\right)}{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,atan⁡(2−1+52)]∪[π−atan⁡(2−1+52),∞)\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[atan⁡(2−1+52),π−atan⁡(2−1+52)]\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞esin⁡(x)=⟨e−1,e⟩\lim_{x \to -\infty} e^{\sin{\left(x \right)}} = \left\langle e^{-1}, e\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨e−1,e⟩y = \left\langle e^{-1}, e\right\rangle
lim⁡x→∞esin⁡(x)=⟨e−1,e⟩\lim_{x \to \infty} e^{\sin{\left(x \right)}} = \left\langle e^{-1}, e\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨e−1,e⟩y = \left\langle e^{-1}, e\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(esin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(esin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
esin⁡(x)=e−sin⁡(x)e^{\sin{\left(x \right)}} = e^{- \sin{\left(x \right)}}
- No
esin⁡(x)=−e−sin⁡(x)e^{\sin{\left(x \right)}} = - e^{- \sin{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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