Sr Examen

Gráfico de la función y = x*arcctg(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = x*acot(x)
$$f{\left(x \right)} = x \operatorname{acot}{\left(x \right)}$$
f = x*acot(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*acot(x).
$$0 \operatorname{acot}{\left(0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x}{x^{2} + 1} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 14480.6704897809$$
$$x_{2} = 11092.020896022$$
$$x_{3} = 21259.6603274632$$
$$x_{4} = -38078.7724924216$$
$$x_{5} = 18717.3825921039$$
$$x_{6} = -26213.3083727677$$
$$x_{7} = -27060.8125814987$$
$$x_{8} = 28887.0585662606$$
$$x_{9} = -29603.3595724168$$
$$x_{10} = 32277.1711035644$$
$$x_{11} = 42447.8004663952$$
$$x_{12} = -28755.8386877142$$
$$x_{13} = -33841.0266214391$$
$$x_{14} = 23802.0523520614$$
$$x_{15} = -25365.810848258$$
$$x_{16} = 19564.7930550097$$
$$x_{17} = 27192.0307619732$$
$$x_{18} = 29734.5801929714$$
$$x_{19} = -21128.451639271$$
$$x_{20} = -16044.0821523617$$
$$x_{21} = 22954.5779890773$$
$$x_{22} = -24518.3207010738$$
$$x_{23} = -37231.2183043527$$
$$x_{24} = 26344.5255783821$$
$$x_{25} = -16891.4245591221$$
$$x_{26} = -21975.9030580391$$
$$x_{27} = 22107.1135839482$$
$$x_{28} = -8420.37201352502$$
$$x_{29} = -22823.365825763$$
$$x_{30} = 28039.5419336107$$
$$x_{31} = 24649.5356458528$$
$$x_{32} = 40752.6740304247$$
$$x_{33} = 11939.0892257274$$
$$x_{34} = -10113.913790961$$
$$x_{35} = 39057.5547154358$$
$$x_{36} = -14349.4901108771$$
$$x_{37} = 36514.8912641685$$
$$x_{38} = -11807.9338157736$$
$$x_{39} = -18586.1809993501$$
$$x_{40} = 37362.4434906472$$
$$x_{41} = 15327.9550113123$$
$$x_{42} = -31298.4148843908$$
$$x_{43} = 33972.2501557217$$
$$x_{44} = -9267.06673722176$$
$$x_{45} = -35536.1170902848$$
$$x_{46} = -15196.7689456217$$
$$x_{47} = -30450.8850969459$$
$$x_{48} = 34819.7944072015$$
$$x_{49} = 35667.3415095204$$
$$x_{50} = 12786.2285767811$$
$$x_{51} = -12655.0631680385$$
$$x_{52} = -19433.5887869564$$
$$x_{53} = 10245.0412006996$$
$$x_{54} = -34688.5704142599$$
$$x_{55} = -13502.2521178288$$
$$x_{56} = -32993.4859340089$$
$$x_{57} = 16175.2730314267$$
$$x_{58} = 13633.4257117535$$
$$x_{59} = -27908.3228655288$$
$$x_{60} = -20281.012992025$$
$$x_{61} = 8551.45303022722$$
$$x_{62} = 39905.113426091$$
$$x_{63} = -42316.5735052903$$
$$x_{64} = 17022.6195482377$$
$$x_{65} = -36383.6664480288$$
$$x_{66} = -23670.8387235676$$
$$x_{67} = 31429.6368125843$$
$$x_{68} = -40621.447587593$$
$$x_{69} = -32145.9485975863$$
$$x_{70} = 33124.7089739066$$
$$x_{71} = 30582.10639855$$
$$x_{72} = 25497.0269799384$$
$$x_{73} = 38209.9980244722$$
$$x_{74} = 20412.2196081348$$
$$x_{75} = 17869.99050832$$
$$x_{76} = -17738.7919818582$$
$$x_{77} = -38926.3288599295$$
$$x_{78} = 9398.17409812154$$
$$x_{79} = -39773.8872675524$$
$$x_{80} = -10960.8778764425$$
$$x_{81} = -41469.0097027937$$
$$x_{82} = 41600.2364126928$$
Signos de extremos en los puntos:
(14480.670489780925, 0.99999999841035)

(11092.020896021957, 0.999999997290698)

(21259.66032746322, 0.999999999262493)

(-38078.77249242158, 0.999999999770114)

(18717.38259210387, 0.999999999048545)

(-26213.308372767653, 0.999999999514896)

(-27060.81258149867, 0.999999999544805)

(28887.058566260628, 0.999999999600541)

(-29603.35957241684, 0.999999999619638)

(32277.171103564393, 0.999999999680046)

(42447.8004663952, 0.999999999815001)

(-28755.838687714244, 0.999999999596887)

(-33841.02662143908, 0.999999999708934)

(23802.052352061375, 0.999999999411631)

(-25365.810848258036, 0.999999999481939)

(19564.79305500968, 0.99999999912918)

(27192.03076197315, 0.999999999549188)

(29734.580192971367, 0.999999999622988)

(-21128.451639271025, 0.999999999253305)

(-16044.082152361707, 0.999999998705062)

(22954.57798907731, 0.999999999367384)

(-24518.320701073833, 0.999999999445505)

(-37231.21830435275, 0.999999999759528)

(26344.525578382065, 0.999999999519716)

(-16891.424559122082, 0.999999998831722)

(-21975.903058039054, 0.999999999309784)

(22107.113583948245, 0.999999999317952)

(-8420.37201352502, 0.999999995298719)

(-22823.365825763038, 0.999999999360089)

(28039.541933610733, 0.999999999576028)

(24649.53564585282, 0.999999999451393)

(40752.67403042468, 0.999999999799291)

(11939.089225727435, 0.999999997661506)

(-10113.913790961042, 0.999999996741331)

(39057.55471543576, 0.999999999781491)

(-14349.490110877094, 0.999999998381153)

(36514.89126416845, 0.999999999750001)

(-11807.933815773578, 0.999999997609268)

(-18586.180999350086, 0.999999999035064)

(37362.44349064715, 0.999999999761214)

(15327.955011312279, 0.999999998581235)

(-31298.41488439077, 0.999999999659722)

(33972.25015572168, 0.999999999711178)

(-9267.06673722176, 0.999999996118549)

(-35536.11709028476, 0.99999999973604)

(-15196.768945621745, 0.999999998556635)

(-30450.88509694595, 0.999999999640517)

(34819.79440720148, 0.999999999725067)

(35667.3415095204, 0.999999999737978)

(12786.228576781117, 0.99999999796111)

(-12655.063168038458, 0.999999997918626)

(-19433.58878695641, 0.999999999117382)

(10245.041200699563, 0.999999996824213)

(-34688.570414259906, 0.999999999722983)

(-13502.25211782884, 0.999999998171621)

(-32993.48593400886, 0.999999999693788)

(16175.273031426721, 0.999999998725982)

(13633.425711753476, 0.999999998206635)

(-27908.322865528775, 0.999999999572032)

(-20281.012992024975, 0.9999999991896)

(8551.453030227216, 0.999999995441742)

(39905.113426091, 0.999999999790675)

(-42316.573505290275, 0.999999999813852)

(17022.619548237748, 0.999999998849661)

(-36383.66644802879, 0.999999999748194)

(-23670.838723567595, 0.99999999940509)

(31429.636812584253, 0.999999999662557)

(-40621.447587593044, 0.999999999797992)

(-32145.948597586266, 0.999999999677428)

(33124.7089739066, 0.999999999696209)

(30582.106398549957, 0.999999999643595)

(25497.02697993837, 0.999999999487257)

(38209.99802447215, 0.99999999977169)

(20412.219608134823, 0.999999999199985)

(17869.990508320032, 0.999999998956169)

(-17738.791981858223, 0.999999998940671)

(-38926.32885992955, 0.999999999780016)

(9398.174098121537, 0.999999996226088)

(-39773.887267552374, 0.999999999789291)

(-10960.87787644252, 0.999999997225479)

(-41469.00970279369, 0.999999999806165)

(41600.23641269277, 0.999999999807386)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 14480.6704897809$$
$$x_{2} = -38078.7724924216$$
$$x_{3} = -26213.3083727677$$
$$x_{4} = 32277.1711035644$$
$$x_{5} = -22823.365825763$$
$$x_{6} = 24649.5356458528$$
$$x_{7} = 40752.6740304247$$
$$x_{8} = -14349.4901108771$$
$$x_{9} = -32993.4859340089$$
$$x_{10} = -42316.5735052903$$
$$x_{11} = 17022.6195482377$$
$$x_{12} = 31429.6368125843$$
$$x_{13} = -40621.447587593$$
$$x_{14} = 25497.0269799384$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{14} = 18717.3825921039$$
$$x_{14} = -16044.0821523617$$
$$x_{14} = -37231.2183043527$$
$$x_{14} = -16891.4245591221$$
$$x_{14} = 22107.1135839482$$
$$x_{14} = 11939.0892257274$$
$$x_{14} = 39057.5547154358$$
$$x_{14} = 37362.4434906472$$
$$x_{14} = 34819.7944072015$$
$$x_{14} = 10245.0412006996$$
$$x_{14} = -32145.9485975863$$
$$x_{14} = 38209.9980244722$$
Decrece en los intervalos
$$\left[40752.6740304247, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -42316.5735052903\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*acot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \operatorname{acot}{\left(x \right)} = x \operatorname{acot}{\left(x \right)}$$
- Sí
$$x \operatorname{acot}{\left(x \right)} = - x \operatorname{acot}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par