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y=x*(arcctg(x)—arctg(x))
Trazado el gráfico de la función/ y=x*(arcctg(x)—arctg(x))

Gráfico de la función y = y=x*(arcctg(x)—arctg(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*(acot(x) - atan(x))
f(x)=x(acot⁡(x)−atan⁡(x))f{\left(x \right)} = x \left(\operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) 
f = x*(acot(x) - atan(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(acot⁡(x)−atan⁡(x))=0x \left(\operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=−1x_{3} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(acot(x) - atan(x)).
0(−atan⁡(0)+acot⁡(0))0 \left(- \operatorname{atan}{\left(0 \right)} + \operatorname{acot}{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xx2+1+acot⁡(x)−atan⁡(x)=0- \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.441610791705328x_{1} = 0.441610791705328
Signos de extremos en los puntos:
(0.44161079170532835, 0.326387970816785)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.441610791705328x_{1} = 0.441610791705328
Decrece en los intervalos
(−∞,0.441610791705328]\left(-\infty, 0.441610791705328\right]
Crece en los intervalos
[0.441610791705328,∞)\left[0.441610791705328, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(x2x2+1−1)x2+1=0\frac{4 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(acot⁡(x)−atan⁡(x)))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(acot⁡(x)−atan⁡(x)))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(acot(x) - atan(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡(x)−atan⁡(x))=π2\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=πx2y = \frac{\pi x}{2}
lim⁡x→∞(acot⁡(x)−atan⁡(x))=−π2\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−πx2y = - \frac{\pi x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(acot⁡(x)−atan⁡(x))=−x(−acot⁡(x)+atan⁡(x))x \left(\operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = - x \left(- \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)
- No
x(acot⁡(x)−atan⁡(x))=x(−acot⁡(x)+atan⁡(x))x \left(\operatorname{acot}{\left(x \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = x \left(- \operatorname{acot}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x*(arcctg(x)—arctg(x))
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