Sr Examen

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cot(x)^(2)
Trazado el gráfico de la función/ cot(x)^(2)

Gráfico de la función y = cot(x)^(2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2   
f(x) = cot (x)
f(x)=cot⁡2(x)f{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} 
f = cot(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡2(x)=0\cot^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=−36.1283154116159x_{1} = -36.1283154116159
x2=−4.71238821766666x_{2} = -4.71238821766666
x3=−39.2699085039414x_{3} = -39.2699085039414
x4=80.1106131141249x_{4} = 80.1106131141249
x5=−10.9955750164577x_{5} = -10.9955750164577
x6=26.7035372464116x_{6} = 26.7035372464116
x7=17.2787603779221x_{7} = 17.2787603779221
x8=−58.119463992756x_{8} = -58.119463992756
x9=45.553093832613x_{9} = 45.553093832613
x10=32.9867221705586x_{10} = 32.9867221705586
x11=−26.703536812613x_{11} = -26.703536812613
x12=86.3937978832136x_{12} = 86.3937978832136
x13=95.8185760748877x_{13} = 95.8185760748877
x14=70.6858344125139x_{14} = 70.6858344125139
x15=−17.2787599203227x_{15} = -17.2787599203227
x16=−83.252205671713x_{16} = -83.252205671713
x17=−89.535390760432x_{17} = -89.535390760432
x18=−48.6946854069453x_{18} = -48.6946854069453
x19=4.7123886631263x_{19} = 4.7123886631263
x20=42.4115007224479x_{20} = 42.4115007224479
x21=−14.1371668305105x_{21} = -14.1371668305105
x22=7.85398175057255x_{22} = 7.85398175057255
x23=−7.85398149105085x_{23} = -7.85398149105085
x24=−73.827427279276x_{24} = -73.827427279276
x25=64.4026493028373x_{25} = 64.4026493028373
x26=−51.8362786880941x_{26} = -51.8362786880941
x27=76.96901935541x_{27} = 76.96901935541
x28=58.1194643518606x_{28} = 58.1194643518606
x29=1.57079666438851x_{29} = 1.57079666438851
x30=−92.6769825938739x_{30} = -92.6769825938739
x31=23.5619452484081x_{31} = 23.5619452484081
x32=−20.4203519194525x_{32} = -20.4203519194525
x33=−1.5707964383904x_{33} = -1.5707964383904
x34=39.2699089741834x_{34} = 39.2699089741834
x35=−29.8451300929104x_{35} = -29.8451300929104
x36=−23.5619450188486x_{36} = -23.5619450188486
x37=67.5442424170105x_{37} = 67.5442424170105
x38=−42.4115005031215x_{38} = -42.4115005031215
x39=10.995573577333x_{39} = 10.995573577333
x40=83.2522061688528x_{40} = 83.2522061688528
x41=92.676982995342x_{41} = 92.676982995342
x42=73.8274274937934x_{42} = 73.8274274937934
x43=−70.6858340006904x_{43} = -70.6858340006904
x44=51.836278912715x_{44} = 51.836278912715
x45=−32.986723610839x_{45} = -32.986723610839
x46=89.5353910016078x_{46} = 89.5353910016078
x47=−61.261057087736x_{47} = -61.261057087736
x48=−95.8185758678225x_{48} = -95.8185758678225
x49=36.1283156729582x_{49} = 36.1283156729582
x50=−80.1106125739451x_{50} = -80.1106125739451
x51=−86.393797669969x_{51} = -86.393797669969
x52=−67.5442421798653x_{52} = -67.5442421798653
x53=20.4203521420402x_{53} = 20.4203521420402
x54=29.8451303316444x_{54} = 29.8451303316444
x55=−45.5530935993389x_{55} = -45.5530935993389
x56=14.1371671242392x_{56} = 14.1371671242392
x57=−54.9778722058378x_{57} = -54.9778722058378
x58=61.261057571149x_{58} = 61.261057571149
x59=54.9778707632433x_{59} = 54.9778707632433
x60=48.6946858295389x_{60} = 48.6946858295389
x61=−76.9690208014828x_{61} = -76.9690208014828
x62=98.9601679470804x_{62} = 98.9601679470804
x63=−98.960169397804x_{63} = -98.960169397804
x64=−64.4026490866249x_{64} = -64.4026490866249
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(x)^2.
cot⁡2(0)\cot^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2cot⁡2(x)−2)cot⁡(x)=0\left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cot⁡2(x)+1)(3cot⁡2(x)+1)=02 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞cot⁡2(x)y = \lim_{x \to -\infty} \cot^{2}{\left(x \right)}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞cot⁡2(x)y = \lim_{x \to \infty} \cot^{2}{\left(x \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡2(x)=cot⁡2(x)\cot^{2}{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)}
- Sí
cot⁡2(x)=−cot⁡2(x)\cot^{2}{\left(x \right)} = - \cot^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cot(x)^(2)
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