Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cot((pi*x)/2)

Gráfico de la función y = cot((pi*x)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /pi*x\
f(x) = cot|----|
          \ 2  /
f(x)=cot⁡(πx2)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} 
f = cot((pi*x)/2)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(πx2)=0\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot((pi*x)/2).
cot⁡(0π2)\cot{\left(\frac{0 \pi}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
π(−cot⁡2(πx2)−1)2=0\frac{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
π2(cot⁡2(πx2)+1)cot⁡(πx2)2=0\frac{\pi^{2} \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(πx2)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(πx2)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot((pi*x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(πx2)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(πx2)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(πx2)=−cot⁡(πx2)\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = - \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}
- No
cot⁡(πx2)=cot⁡(πx2)\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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