Sr Examen

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y=-ln(cos(x)+sin(x))
Trazado el gráfico de la función/ y=-ln(cos(x)+sin(x))

Gráfico de la función y = y=-ln(cos(x)+sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -log(cos(x) + sin(x))
f(x)=−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))f{\left(x \right)} = - \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)} 
f = -log(sin(x) + cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))=0- \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=−94.2477796076938x_{1} = -94.2477796076938
x2=−37.6991118430775x_{2} = -37.6991118430775
x3=−31.4159265358979x_{3} = -31.4159265358979
x4=25.1327412287183x_{4} = 25.1327412287183
x5=−6.28318530717959x_{5} = -6.28318530717959
x6=−81.6814089933346x_{6} = -81.6814089933346
x7=−73.8274273593601x_{7} = -73.8274273593601
x8=−10.9955742875643x_{8} = -10.9955742875643
x9=−29.845130209103x_{9} = -29.845130209103
x10=39.2699081698724x_{10} = 39.2699081698724
x11=12.5663706143592x_{11} = 12.5663706143592
x12=31.4159265358979x_{12} = 31.4159265358979
x13=−87.9645943005142x_{13} = -87.9645943005142
x14=56.5486677646163x_{14} = 56.5486677646163
x15=62.8318530717959x_{15} = 62.8318530717959
x16=1.5707963267949x_{16} = 1.5707963267949
x17=18.8495559215388x_{17} = 18.8495559215388
x18=51.8362787842316x_{18} = 51.8362787842316
x19=83.2522053201295x_{19} = 83.2522053201295
x20=95.8185759344887x_{20} = 95.8185759344887
x21=81.6814089933346x_{21} = 81.6814089933346
x22=−36.1283155162826x_{22} = -36.1283155162826
x23=76.9690200129499x_{23} = 76.9690200129499
x24=−80.1106126665397x_{24} = -80.1106126665397
x25=−48.6946861306418x_{25} = -48.6946861306418
x26=−106.814150222053x_{26} = -106.814150222053
x27=−67.5442420521806x_{27} = -67.5442420521806
x28=32.9867228626928x_{28} = 32.9867228626928
x29=7.85398163397448x_{29} = 7.85398163397448
x30=69.1150383789755x_{30} = 69.1150383789755
x31=−43.9822971502571x_{31} = -43.9822971502571
x32=−18.8495559215388x_{32} = -18.8495559215388
x33=70.6858347057703x_{33} = 70.6858347057703
x34=−4.71238898038469x_{34} = -4.71238898038469
x35=45.553093477052x_{35} = 45.553093477052
x36=75.398223686155x_{36} = 75.398223686155
x37=−75.398223686155x_{37} = -75.398223686155
x38=−25.1327412287183x_{38} = -25.1327412287183
x39=−62.8318530717959x_{39} = -62.8318530717959
x40=89.5353906273091x_{40} = 89.5353906273091
x41=−23.5619449019235x_{41} = -23.5619449019235
x42=50.2654824574367x_{42} = 50.2654824574367
x43=6.28318530717959x_{43} = 6.28318530717959
x44=14.1371669411541x_{44} = 14.1371669411541
x45=−92.6769832808989x_{45} = -92.6769832808989
x46=−17.2787595947439x_{46} = -17.2787595947439
x47=64.4026493985908x_{47} = 64.4026493985908
x48=−86.3937979737193x_{48} = -86.3937979737193
x49=−61.261056745001x_{49} = -61.261056745001
x50=26.7035375555132x_{50} = 26.7035375555132
x51=−69.1150383789755x_{51} = -69.1150383789755
x52=−42.4115008234622x_{52} = -42.4115008234622
x53=−50.2654824574367x_{53} = -50.2654824574367
x54=43.9822971502571x_{54} = 43.9822971502571
x55=87.9645943005142x_{55} = 87.9645943005142
x56=−12.5663706143592x_{56} = -12.5663706143592
x57=100.530964914873x_{57} = 100.530964914873
x58=−54.9778714378214x_{58} = -54.9778714378214
x59=37.6991118430775x_{59} = 37.6991118430775
x60=−98.9601685880785x_{60} = -98.9601685880785
x61=20.4203522483337x_{61} = 20.4203522483337
x62=94.2477796076938x_{62} = 94.2477796076938
x63=0x_{63} = 0
x64=58.1194640914112x_{64} = 58.1194640914112
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -log(cos(x) + sin(x)).
−log⁡(sin⁡(0)+cos⁡(0))- \log{\left(\sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi      /  ___\ 
(--, -log\\/ 2 /)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(sin⁡(x)−cos⁡(x))2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2+1=0\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)))=−log⁡(⟨−2,2⟩)\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}\right) = - \log{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−log⁡(⟨−2,2⟩)y = - \log{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞(−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)))=−log⁡(⟨−2,2⟩)\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}\right) = - \log{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−log⁡(⟨−2,2⟩)y = - \log{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -log(cos(x) + sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))=−log⁡(−sin⁡(x)+cos⁡(x))- \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}
- No
−log⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x))=log⁡(−sin⁡(x)+cos⁡(x))- \log{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=-ln(cos(x)+sin(x))
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