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2^x-x^2
Trazado el gráfico de la función/ 2^x-x^2

Gráfico de la función y = 2^x-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x    2
f(x) = 2  - x
f(x)=2x−x2f{\left(x \right)} = 2^{x} - x^{2} 
f = 2^x - x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x−x2=02^{x} - x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
x2=4x_{2} = 4
x3=−2W(log⁡(2)2)log⁡(2)x_{3} = - \frac{2 W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
Solución numérica
x1=−0.766664695962123x_{1} = -0.766664695962123
x2=2x_{2} = 2
x3=4x_{3} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2^x - x^2.
−02+20- 0^{2} + 2^{0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xlog⁡(2)−2x=02^{x} \log{\left(2 \right)} - 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−W(−log⁡(2)22)log⁡(2)x_{1} = - \frac{W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
x2=−W−1(−log⁡(2)22)log⁡(2)x_{2} = - \frac{W_{-1}\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
   /    2    \       /    2    \      /    2    \ 
   |-log (2) |      2|-log (2) |      |-log (2) | 
 -W|---------|     W |---------|    -W|---------| 
   \    2    /       \    2    /      \    2    / 
(--------------, - ------------- + e             )
     log(2)              2                        
                      log (2)                     

   /    2        \       /    2        \      /    2        \ 
   |-log (2)     |      2|-log (2)     |      |-log (2)     | 
 -W|---------, -1|     W |---------, -1|    -W|---------, -1| 
   \    2        /       \    2        /      \    2        / 
(------------------, - ----------------- + e                 )
       log(2)                  2                              
                            log (2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−W−1(−log⁡(2)22)log⁡(2)x_{1} = - \frac{W_{-1}\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
Puntos máximos de la función:
x1=−W(−log⁡(2)22)log⁡(2)x_{1} = - \frac{W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}
Decrece en los intervalos
(−∞,−W(−log⁡(2)22)log⁡(2)]∪[−W−1(−log⁡(2)22)log⁡(2),∞)\left(-\infty, - \frac{W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[- \frac{W_{-1}\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−W(−log⁡(2)22)log⁡(2),−W−1(−log⁡(2)22)log⁡(2)]\left[- \frac{W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}, - \frac{W_{-1}\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2xlog⁡(2)2−2=02^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−2log⁡(log⁡(2))log⁡(2)x_{1} = 1 - \frac{2 \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1−2log⁡(log⁡(2))log⁡(2),∞)\left[1 - \frac{2 \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1−2log⁡(log⁡(2))log⁡(2)]\left(-\infty, 1 - \frac{2 \log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x−x2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} - x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2x−x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} - x^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^x - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−x2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} - x^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(2x−x2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} - x^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x−x2=−x2+2−x2^{x} - x^{2} = - x^{2} + 2^{- x}
- No
2x−x2=x2−2−x2^{x} - x^{2} = x^{2} - 2^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2^x-x^2
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