Sr Examen

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y=ln*(x+1)/(x+2)
Trazado el gráfico de la función/ y=ln*(x+1)/(x+2)

Gráfico de la función y = y=ln*(x+1)/(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x + 1)
f(x) = ----------
         x + 2
f(x)=log⁡(x+1)x+2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 2} 
f = log(x + 1)/(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+1)x+2=0\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 1)/(x + 2).
log⁡(1)2\frac{\log{\left(1 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x+1)(x+2)2+1(x+1)(x+2)=0- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.59112147666862x_{1} = 2.59112147666862
Signos de extremos en los puntos:
(2.591121476668622, 0.278464542761074)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2.59112147666862x_{1} = 2.59112147666862
Decrece en los intervalos
(−∞,2.59112147666862]\left(-\infty, 2.59112147666862\right]
Crece en los intervalos
[2.59112147666862,∞)\left[2.59112147666862, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x+1)(x+2)2−2(x+1)(x+2)−1(x+1)2x+2=0\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=50649.0597620421x_{1} = 50649.0597620421
x2=30600.4102420459x_{2} = 30600.4102420459
x3=28353.2239977935x_{3} = 28353.2239977935
x4=5.25101515538997x_{4} = 5.25101515538997
x5=39550.1601238275x_{5} = 39550.1601238275
x6=24977.2208231237x_{6} = 24977.2208231237
x7=46220.5206877381x_{7} = 46220.5206877381
x8=26584.4013892223x_{8} = 26584.4013892223
x9=51754.058818831x_{9} = 51754.058818831
x10=45111.1623076015x_{10} = 45111.1623076015
x11=47328.9719279405x_{11} = 47328.9719279405
x12=31722.6489198229x_{12} = 31722.6489198229
x13=23851.2510417853x_{13} = 23851.2510417853
x14=36201.6463953862x_{14} = 36201.6463953862
x15=35083.4269409842x_{15} = 35083.4269409842
x16=49543.2238498167x_{16} = 49543.2238498167
x17=53961.6142657216x_{17} = 53961.6142657216
x18=48436.5337535234x_{18} = 48436.5337535234
x19=42889.6538450113x_{19} = 42889.6538450113
x20=40664.3099214876x_{20} = 40664.3099214876
x21=33964.1807098539x_{21} = 33964.1807098539
x22=38435.0066336134x_{22} = 38435.0066336134
x23=32843.9156226655x_{23} = 32843.9156226655
x24=59467.0096098775x_{24} = 59467.0096098775
x25=29477.2457893623x_{25} = 29477.2457893623
x26=41777.469483901x_{26} = 41777.469483901
x27=58367.4105125981x_{27} = 58367.4105125981
x28=60565.8982028088x_{28} = 60565.8982028088
x29=44000.8791523244x_{29} = 44000.8791523244
x30=37318.8381683248x_{30} = 37318.8381683248
x31=57267.0864687928x_{31} = 57267.0864687928
x32=56166.0226377968x_{32} = 56166.0226377968
x33=26103.0435458891x_{33} = 26103.0435458891
x34=55064.2037809509x_{34} = 55064.2037809509
x35=27228.4433846664x_{35} = 27228.4433846664
x36=52858.2380744319x_{36} = 52858.2380744319
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2

lim⁡x→−2−(2log⁡(x+1)(x+2)2−2(x+1)(x+2)−1(x+1)2x+2)=−∞i\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x + 2}\right) = - \infty i
lim⁡x→−2+(2log⁡(x+1)(x+2)2−2(x+1)(x+2)−1(x+1)2x+2)=∞i\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x + 2}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5.25101515538997,∞)\left[5.25101515538997, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,5.25101515538997]\left(-\infty, 5.25101515538997\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)x+2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)x+2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 1)/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)x(x+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(x + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)x(x+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(x + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+1)x+2=log⁡(1−x)2−x\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 2} = \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{2 - x}
- No
log⁡(x+1)x+2=−log⁡(1−x)2−x\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 2} = - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{2 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=ln*(x+1)/(x+2)
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