Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{x + 2 + \frac{1}{x}} + \frac{2}{x^{3}}}{x + 2 + \frac{1}{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{x + 2 + \frac{1}{x}} + \frac{2}{x^{3}}}{x + 2 + \frac{1}{x}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{x + 2 + \frac{1}{x}} + \frac{2}{x^{3}}}{x + 2 + \frac{1}{x}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$