Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3*(sqrt(exp(3*x))-exp(3*x))/(5*(1-exp(3*x)))

Gráfico de la función y = 3*(sqrt(exp(3*x))-exp(3*x))/(5*(1-exp(3*x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         /   ______       \
         |  /  3*x     3*x|
       3*\\/  e     - e   /
f(x) = --------------------
             /     3*x\    
           5*\1 - e   /
f(x)=3(−e3x+e3x)5(1−e3x)f{\left(x \right)} = \frac{3 \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right)}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)} 
f = (3*(-exp(3*x) + sqrt(exp(3*x))))/((5*(1 - exp(3*x))))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3(−e3x+e3x)5(1−e3x)=0\frac{3 \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right)}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−8543418770695.5x_{1} = -8543418770695.5
x2=−61.8672300042429x_{2} = -61.8672300042429
x3=−45.8672300042429x_{3} = -45.8672300042429
x4=−1054341623.27389x_{4} = -1054341623.27389
x5=−83.8672300042429x_{5} = -83.8672300042429
x6=−91.8672300042429x_{6} = -91.8672300042429
x7=−171599153169470x_{7} = -171599153169470
x8=−71.8672300042429x_{8} = -71.8672300042429
x9=−4.64227514732018⋅1024x_{9} = -4.64227514732018 \cdot 10^{24}
x10=−49.8672300042429x_{10} = -49.8672300042429
x11=−27.8672300052334x_{11} = -27.8672300052334
x12=−6.92280393557907⋅1016x_{12} = -6.92280393557907 \cdot 10^{16}
x13=−43.8672300042429x_{13} = -43.8672300042429
x14=−5.6095764940052⋅1020x_{14} = -5.6095764940052 \cdot 10^{20}
x15=−85.8672300042429x_{15} = -85.8672300042429
x16=−89.8672300042429x_{16} = -89.8672300042429
x17=−6472.64836990775x_{17} = -6472.64836990775
x18=−55.8672300042429x_{18} = -55.8672300042429
x19=−25.8672300241365x_{19} = -25.8672300241365
x20=−1.85691005892807⋅1026x_{20} = -1.85691005892807 \cdot 10^{26}
x21=−3.44666112696021⋅1015x_{21} = -3.44666112696021 \cdot 10^{15}
x22=−21177017858.6321x_{22} = -21177017858.6321
x23=−425351774415.443x_{23} = -425351774415.443
x24=−2613442.17644157x_{24} = -2613442.17644157
x25=−107.867230004243x_{25} = -107.867230004243
x26=−75.8672300042429x_{26} = -75.8672300042429
x27=−39.8672300042429x_{27} = -39.8672300042429
x28=−21.8672380298427x_{28} = -21.8672380298427
x29=−105.867230004243x_{29} = -105.867230004243
x30=−69.8672300042429x_{30} = -69.8672300042429
x31=−97.8672300042429x_{31} = -97.8672300042429
x32=−65.8672300042429x_{32} = -65.8672300042429
x33=−52492567.7001457x_{33} = -52492567.7001457
x34=−81.8672300042429x_{34} = -81.8672300042429
x35=−27.6974776789296x_{35} = -27.6974776789296
x36=−47.8672300042429x_{36} = -47.8672300042429
x37=−67.8672300042429x_{37} = -67.8672300042429
x38=−1.39048234921283⋅1018x_{38} = -1.39048234921283 \cdot 10^{18}
x39=−87.8672300042429x_{39} = -87.8672300042429
x40=−95.8672300042429x_{40} = -95.8672300042429
x41=−2.2645244621074⋅1023x_{41} = -2.2645244621074 \cdot 10^{23}
x42=−31.8672300042454x_{42} = -31.8672300042454
x43=−33.867230004243x_{43} = -33.867230004243
x44=−57.8672300042429x_{44} = -57.8672300042429
x45=−99.8672300042429x_{45} = -99.8672300042429
x46=−111.867230004243x_{46} = -111.867230004243
x47=−103.867230004243x_{47} = -103.867230004243
x48=−79.8672300042429x_{48} = -79.8672300042429
x49=−19.867391192322x_{49} = -19.867391192322
x50=−59.8672300042429x_{50} = -59.8672300042429
x51=−2.79285832728421⋅1019x_{51} = -2.79285832728421 \cdot 10^{19}
x52=−1.12669744489295⋅1022x_{52} = -1.12669744489295 \cdot 10^{22}
x53=−41.8672300042429x_{53} = -41.8672300042429
x54=−23.8672304038153x_{54} = -23.8672304038153
x55=−113.867230004243x_{55} = -113.867230004243
x56=−51.8672300042429x_{56} = -51.8672300042429
x57=−53.8672300042429x_{57} = -53.8672300042429
x58=−93.8672300042429x_{58} = -93.8672300042429
x59=−319.075014192909x_{59} = -319.075014192909
x60=−63.8672300042429x_{60} = -63.8672300042429
x61=−35.8672300042429x_{61} = -35.8672300042429
x62=−101.867230004243x_{62} = -101.867230004243
x63=−37.8672300042429x_{63} = -37.8672300042429
x64=−77.8672300042429x_{64} = -77.8672300042429
x65=−6.1897001964269⋅1025x_{65} = -6.1897001964269 \cdot 10^{25}
x66=−73.8672300042429x_{66} = -73.8672300042429
x67=−109.867230004243x_{67} = -109.867230004243
x68=−130108.644289508x_{68} = -130108.644289508
x69=−29.8672300042922x_{69} = -29.8672300042922
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*(sqrt(exp(3*x)) - exp(3*x)))/((5*(1 - exp(3*x)))).
3(−e0⋅3+e0⋅3)5(1−e0⋅3)\frac{3 \left(- e^{0 \cdot 3} + \sqrt{e^{0 \cdot 3}}\right)}{5 \left(1 - e^{0 \cdot 3}\right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
15(1−e3x)(9e3x22−9e3x)+9(−e3x+e3x)e3x5(1−e3x)2=0\frac{1}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)} \left(\frac{9 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} - 9 e^{3 x}\right) + \frac{9 \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right) e^{3 x}}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
27((1−2e3xe3x−1)(e3x2−e3x)e3xe3x−1+(e3x2−2e3x)e3xe3x−1−e3x24+e3x)5(e3x−1)=0\frac{27 \left(\frac{\left(1 - \frac{2 e^{3 x}}{e^{3 x} - 1}\right) \left(e^{\frac{3 x}{2}} - e^{3 x}\right) e^{3 x}}{e^{3 x} - 1} + \frac{\left(e^{\frac{3 x}{2}} - 2 e^{3 x}\right) e^{3 x}}{e^{3 x} - 1} - \frac{e^{\frac{3 x}{2}}}{4} + e^{3 x}\right)}{5 \left(e^{3 x} - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3(−e3x+e3x)5(1−e3x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right)}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(3(−e3x+e3x)5(1−e3x))=35\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right)}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)}\right) = \frac{3}{5}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=35y = \frac{3}{5}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*(sqrt(exp(3*x)) - exp(3*x)))/((5*(1 - exp(3*x)))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(315(1−e3x)(−e3x+e3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \frac{1}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)} \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(315(1−e3x)(−e3x+e3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \frac{1}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)} \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3(−e3x+e3x)5(1−e3x)=−3e−3x+3e−3x25−5e−3x\frac{3 \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right)}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)} = \frac{- 3 e^{- 3 x} + 3 e^{- \frac{3 x}{2}}}{5 - 5 e^{- 3 x}}
- No
3(−e3x+e3x)5(1−e3x)=−−3e−3x+3e−3x25−5e−3x\frac{3 \left(- e^{3 x} + \sqrt{e^{3 x}}\right)}{5 \left(1 - e^{3 x}\right)} = - \frac{- 3 e^{- 3 x} + 3 e^{- \frac{3 x}{2}}}{5 - 5 e^{- 3 x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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