Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- cos(x)/(x^ dos - uno)
- coseno de (x) dividir por (x al cuadrado menos 1)
- coseno de (x) dividir por (x en el grado dos menos uno)
- cos(x)/(x2-1)
- cosx/x2-1
- cos(x)/(x²-1)
- cos(x)/(x en el grado 2-1)
- cosx/x^2-1
- cos(x) dividir por (x^2-1)
-
Expresiones semejantes
- cos(x)/(x^2+1)
- cosx/(x^2-1)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x)/8
- cos(5*x)+sin(5*x)
Gráfico de la función y = cos(x)/(x^2-1)
Solución
Ha introducido
[src]
cos(x)
f(x) = ------
2
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}$$
f = cos(x)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = 54.9778714378214$$
$$x_{3} = -98.9601685880785$$
$$x_{4} = 67.5442420521806$$
$$x_{5} = 76.9690200129499$$
$$x_{6} = 36.1283155162826$$
$$x_{7} = 58.1194640914112$$
$$x_{8} = 14.1371669411541$$
$$x_{9} = -29.845130209103$$
$$x_{10} = 61.261056745001$$
$$x_{11} = -36.1283155162826$$
$$x_{12} = -4.71238898038469$$
$$x_{13} = -39.2699081698724$$
$$x_{14} = -105.243353895258$$
$$x_{15} = -14.1371669411541$$
$$x_{16} = -64.4026493985908$$
$$x_{17} = -67.5442420521806$$
$$x_{18} = 92.6769832808989$$
$$x_{19} = 108.384946548848$$
$$x_{20} = -51.8362787842316$$
$$x_{21} = -86.3937979737193$$
$$x_{22} = 42.4115008234622$$
$$x_{23} = -17.2787595947439$$
$$x_{24} = -45.553093477052$$
$$x_{25} = -89.5353906273091$$
$$x_{26} = -1.5707963267949$$
$$x_{27} = 39.2699081698724$$
$$x_{28} = 23.5619449019235$$
$$x_{29} = -523.075176822701$$
$$x_{30} = 7.85398163397448$$
$$x_{31} = -58.1194640914112$$
$$x_{32} = -61.261056745001$$
$$x_{33} = -73.8274273593601$$
$$x_{34} = 73.8274273593601$$
$$x_{35} = 29.845130209103$$
$$x_{36} = 4.71238898038469$$
$$x_{37} = 86.3937979737193$$
$$x_{38} = 64.4026493985908$$
$$x_{39} = 89.5353906273091$$
$$x_{40} = -20.4203522483337$$
$$x_{41} = -26.7035375555132$$
$$x_{42} = 98.9601685880785$$
$$x_{43} = 51.8362787842316$$
$$x_{44} = 83.2522053201295$$
$$x_{45} = -48.6946861306418$$
$$x_{46} = -54.9778714378214$$
$$x_{47} = 70.6858347057703$$
$$x_{48} = -95.8185759344887$$
$$x_{49} = 26.7035375555132$$
$$x_{50} = 80.1106126665397$$
$$x_{51} = 702.145958077319$$
$$x_{52} = -23.5619449019235$$
$$x_{53} = -7.85398163397448$$
$$x_{54} = -83.2522053201295$$
$$x_{55} = -76.9690200129499$$
$$x_{56} = -42.4115008234622$$
$$x_{57} = -32.9867228626928$$
$$x_{58} = 17.2787595947439$$
$$x_{59} = 32.9867228626928$$
$$x_{60} = 20.4203522483337$$
$$x_{61} = -70.6858347057703$$
$$x_{62} = -10.9955742875643$$
$$x_{63} = -92.6769832808989$$
$$x_{64} = 45.553093477052$$
$$x_{65} = 10.9955742875643$$
$$x_{66} = -80.1106126665397$$
$$x_{67} = 95.8185759344887$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = 54.9778714378214$$
$$x_{3} = -98.9601685880785$$
$$x_{4} = 67.5442420521806$$
$$x_{5} = 76.9690200129499$$
$$x_{6} = 36.1283155162826$$
$$x_{7} = 58.1194640914112$$
$$x_{8} = 14.1371669411541$$
$$x_{9} = -29.845130209103$$
$$x_{10} = 61.261056745001$$
$$x_{11} = -36.1283155162826$$
$$x_{12} = -4.71238898038469$$
$$x_{13} = -39.2699081698724$$
$$x_{14} = -105.243353895258$$
$$x_{15} = -14.1371669411541$$
$$x_{16} = -64.4026493985908$$
$$x_{17} = -67.5442420521806$$
$$x_{18} = 92.6769832808989$$
$$x_{19} = 108.384946548848$$
$$x_{20} = -51.8362787842316$$
$$x_{21} = -86.3937979737193$$
$$x_{22} = 42.4115008234622$$
$$x_{23} = -17.2787595947439$$
$$x_{24} = -45.553093477052$$
$$x_{25} = -89.5353906273091$$
$$x_{26} = -1.5707963267949$$
$$x_{27} = 39.2699081698724$$
$$x_{28} = 23.5619449019235$$
$$x_{29} = -523.075176822701$$
$$x_{30} = 7.85398163397448$$
$$x_{31} = -58.1194640914112$$
$$x_{32} = -61.261056745001$$
$$x_{33} = -73.8274273593601$$
$$x_{34} = 73.8274273593601$$
$$x_{35} = 29.845130209103$$
$$x_{36} = 4.71238898038469$$
$$x_{37} = 86.3937979737193$$
$$x_{38} = 64.4026493985908$$
$$x_{39} = 89.5353906273091$$
$$x_{40} = -20.4203522483337$$
$$x_{41} = -26.7035375555132$$
$$x_{42} = 98.9601685880785$$
$$x_{43} = 51.8362787842316$$
$$x_{44} = 83.2522053201295$$
$$x_{45} = -48.6946861306418$$
$$x_{46} = -54.9778714378214$$
$$x_{47} = 70.6858347057703$$
$$x_{48} = -95.8185759344887$$
$$x_{49} = 26.7035375555132$$
$$x_{50} = 80.1106126665397$$
$$x_{51} = 702.145958077319$$
$$x_{52} = -23.5619449019235$$
$$x_{53} = -7.85398163397448$$
$$x_{54} = -83.2522053201295$$
$$x_{55} = -76.9690200129499$$
$$x_{56} = -42.4115008234622$$
$$x_{57} = -32.9867228626928$$
$$x_{58} = 17.2787595947439$$
$$x_{59} = 32.9867228626928$$
$$x_{60} = 20.4203522483337$$
$$x_{61} = -70.6858347057703$$
$$x_{62} = -10.9955742875643$$
$$x_{63} = -92.6769832808989$$
$$x_{64} = 45.553093477052$$
$$x_{65} = 10.9955742875643$$
$$x_{66} = -80.1106126665397$$
$$x_{67} = 95.8185759344887$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 12.4054996335861$$
$$x_{2} = -100.511067265113$$
$$x_{3} = -81.6569174978428$$
$$x_{4} = -2.33112237041442$$
$$x_{5} = -28.2034502671317$$
$$x_{6} = 87.941852980689$$
$$x_{7} = -84.7994176724893$$
$$x_{8} = -43.9367850637406$$
$$x_{9} = -37.6459978360151$$
$$x_{10} = 34.4995636692158$$
$$x_{11} = 65.943118880897$$
$$x_{12} = -34.4995636692158$$
$$x_{13} = 18.7429502117119$$
$$x_{14} = 5.95017264337656$$
$$x_{15} = -31.3521566903887$$
$$x_{16} = 84.7994176724893$$
$$x_{17} = 97.3688325296866$$
$$x_{18} = -21.8998872970823$$
$$x_{19} = -9.20843355440115$$
$$x_{20} = 75.3716900810604$$
$$x_{21} = 56.5132815466599$$
$$x_{22} = -53.3696049818501$$
$$x_{23} = -40.7916847146183$$
$$x_{24} = 50.2256674407532$$
$$x_{25} = -97.3688325296866$$
$$x_{26} = 81.6569174978428$$
$$x_{27} = 91.0842301384618$$
$$x_{28} = -18.7429502117119$$
$$x_{29} = 2.33112237041442$$
$$x_{30} = 100.511067265113$$
$$x_{31} = -50.2256674407532$$
$$x_{32} = -91.0842301384618$$
$$x_{33} = 37.6459978360151$$
$$x_{34} = -65.943118880897$$
$$x_{35} = 125.647788969162$$
$$x_{36} = 25.0529526753384$$
$$x_{37} = -103.653263067797$$
$$x_{38} = 131.93173238582$$
$$x_{39} = -87.941852980689$$
$$x_{40} = 47.0814165846103$$
$$x_{41} = 94.2265549654551$$
$$x_{42} = -75.3716900810604$$
$$x_{43} = -47.0814165846103$$
$$x_{44} = -78.5143446648172$$
$$x_{45} = 78.5143446648172$$
$$x_{46} = 59.656738426191$$
$$x_{47} = -94.2265549654551$$
$$x_{48} = 40.7916847146183$$
$$x_{49} = 31.3521566903887$$
$$x_{50} = -15.5797675022891$$
$$x_{51} = -12.4054996335861$$
$$x_{52} = -5.95017264337656$$
$$x_{53} = 72.2289430706097$$
$$x_{54} = 15.5797675022891$$
$$x_{55} = 28.2034502671317$$
$$x_{56} = 21.8998872970823$$
$$x_{57} = 43.9367850637406$$
$$x_{58} = -72.2289430706097$$
$$x_{59} = -62.8000086337252$$
$$x_{60} = 62.8000086337252$$
$$x_{61} = -69.086091013299$$
$$x_{62} = -25.0529526753384$$
$$x_{63} = 69.086091013299$$
$$x_{64} = -59.656738426191$$
$$x_{65} = 9.20843355440115$$
$$x_{66} = -56.5132815466599$$
$$x_{67} = 0$$
$$x_{68} = 53.3696049818501$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2.33112237041442$$
$$x_{2} = -28.2034502671317$$
$$x_{3} = -84.7994176724893$$
$$x_{4} = 34.4995636692158$$
$$x_{5} = 65.943118880897$$
$$x_{6} = -34.4995636692158$$
$$x_{7} = 84.7994176724893$$
$$x_{8} = 97.3688325296866$$
$$x_{9} = -21.8998872970823$$
$$x_{10} = -9.20843355440115$$
$$x_{11} = -53.3696049818501$$
$$x_{12} = -40.7916847146183$$
$$x_{13} = -97.3688325296866$$
$$x_{14} = 91.0842301384618$$
$$x_{15} = 2.33112237041442$$
$$x_{16} = -91.0842301384618$$
$$x_{17} = -65.943118880897$$
$$x_{18} = -103.653263067797$$
$$x_{19} = 47.0814165846103$$
$$x_{20} = -47.0814165846103$$
$$x_{21} = -78.5143446648172$$
$$x_{22} = 78.5143446648172$$
$$x_{23} = 59.656738426191$$
$$x_{24} = 40.7916847146183$$
$$x_{25} = -15.5797675022891$$
$$x_{26} = 72.2289430706097$$
$$x_{27} = 15.5797675022891$$
$$x_{28} = 28.2034502671317$$
$$x_{29} = 21.8998872970823$$
$$x_{30} = -72.2289430706097$$
$$x_{31} = -59.656738426191$$
$$x_{32} = 9.20843355440115$$
$$x_{33} = 53.3696049818501$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{33} = 12.4054996335861$$
$$x_{33} = -100.511067265113$$
$$x_{33} = -81.6569174978428$$
$$x_{33} = 87.941852980689$$
$$x_{33} = -43.9367850637406$$
$$x_{33} = -37.6459978360151$$
$$x_{33} = 18.7429502117119$$
$$x_{33} = 5.95017264337656$$
$$x_{33} = -31.3521566903887$$
$$x_{33} = 75.3716900810604$$
$$x_{33} = 56.5132815466599$$
$$x_{33} = 50.2256674407532$$
$$x_{33} = 81.6569174978428$$
$$x_{33} = -18.7429502117119$$
$$x_{33} = 100.511067265113$$
$$x_{33} = -50.2256674407532$$
$$x_{33} = 37.6459978360151$$
$$x_{33} = 125.647788969162$$
$$x_{33} = 25.0529526753384$$
$$x_{33} = 131.93173238582$$
$$x_{33} = -87.941852980689$$
$$x_{33} = 94.2265549654551$$
$$x_{33} = -75.3716900810604$$
$$x_{33} = -94.2265549654551$$
$$x_{33} = 31.3521566903887$$
$$x_{33} = -12.4054996335861$$
$$x_{33} = -5.95017264337656$$
$$x_{33} = 43.9367850637406$$
$$x_{33} = -62.8000086337252$$
$$x_{33} = 62.8000086337252$$
$$x_{33} = -69.086091013299$$
$$x_{33} = -25.0529526753384$$
$$x_{33} = 69.086091013299$$
$$x_{33} = -56.5132815466599$$
$$x_{33} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[97.3688325296866, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -103.653263067797\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 12.4054996335861$$
$$x_{2} = -100.511067265113$$
$$x_{3} = -81.6569174978428$$
$$x_{4} = -2.33112237041442$$
$$x_{5} = -28.2034502671317$$
$$x_{6} = 87.941852980689$$
$$x_{7} = -84.7994176724893$$
$$x_{8} = -43.9367850637406$$
$$x_{9} = -37.6459978360151$$
$$x_{10} = 34.4995636692158$$
$$x_{11} = 65.943118880897$$
$$x_{12} = -34.4995636692158$$
$$x_{13} = 18.7429502117119$$
$$x_{14} = 5.95017264337656$$
$$x_{15} = -31.3521566903887$$
$$x_{16} = 84.7994176724893$$
$$x_{17} = 97.3688325296866$$
$$x_{18} = -21.8998872970823$$
$$x_{19} = -9.20843355440115$$
$$x_{20} = 75.3716900810604$$
$$x_{21} = 56.5132815466599$$
$$x_{22} = -53.3696049818501$$
$$x_{23} = -40.7916847146183$$
$$x_{24} = 50.2256674407532$$
$$x_{25} = -97.3688325296866$$
$$x_{26} = 81.6569174978428$$
$$x_{27} = 91.0842301384618$$
$$x_{28} = -18.7429502117119$$
$$x_{29} = 2.33112237041442$$
$$x_{30} = 100.511067265113$$
$$x_{31} = -50.2256674407532$$
$$x_{32} = -91.0842301384618$$
$$x_{33} = 37.6459978360151$$
$$x_{34} = -65.943118880897$$
$$x_{35} = 125.647788969162$$
$$x_{36} = 25.0529526753384$$
$$x_{37} = -103.653263067797$$
$$x_{38} = 131.93173238582$$
$$x_{39} = -87.941852980689$$
$$x_{40} = 47.0814165846103$$
$$x_{41} = 94.2265549654551$$
$$x_{42} = -75.3716900810604$$
$$x_{43} = -47.0814165846103$$
$$x_{44} = -78.5143446648172$$
$$x_{45} = 78.5143446648172$$
$$x_{46} = 59.656738426191$$
$$x_{47} = -94.2265549654551$$
$$x_{48} = 40.7916847146183$$
$$x_{49} = 31.3521566903887$$
$$x_{50} = -15.5797675022891$$
$$x_{51} = -12.4054996335861$$
$$x_{52} = -5.95017264337656$$
$$x_{53} = 72.2289430706097$$
$$x_{54} = 15.5797675022891$$
$$x_{55} = 28.2034502671317$$
$$x_{56} = 21.8998872970823$$
$$x_{57} = 43.9367850637406$$
$$x_{58} = -72.2289430706097$$
$$x_{59} = -62.8000086337252$$
$$x_{60} = 62.8000086337252$$
$$x_{61} = -69.086091013299$$
$$x_{62} = -25.0529526753384$$
$$x_{63} = 69.086091013299$$
$$x_{64} = -59.656738426191$$
$$x_{65} = 9.20843355440115$$
$$x_{66} = -56.5132815466599$$
$$x_{67} = 0$$
$$x_{68} = 53.3696049818501$$
Signos de extremos en los puntos:
(12.405499633586086, 0.00645592708029144)
(-100.51106726511297, 9.89758509183166e-5)
(-81.6569174978428, 0.000149950842172114)
(-2.331122370414423, -0.155421131677418)
(-28.203450267131746, -0.00125559586593523)
(87.94185298068903, 0.000129286334811403)
(-84.79941767248933, -0.00013904451760157)
(-43.936785063740594, 0.000517748125715798)
(-37.645997836015106, 0.000705108648137029)
(34.49956366921579, -0.000839475570857111)
(65.94311888089696, -0.000229911752195002)
(-34.49956366921579, -0.000839475570857111)
(18.742950211711907, 0.00283850456596173)
(5.9501726433765585, 0.0274690904508921)
(-31.352156690388735, 0.0010163038211767)
(84.79941767248933, -0.00013904451760157)
(97.36883252968656, -0.000105466435587997)
(-21.89988729708232, -0.00208071049534438)
(-9.208433554401154, -0.0116556571276676)
(75.37169008106044, 0.000175997723793477)
(56.51328154665989, 0.000313013440723007)
(-53.36960498185014, -0.000350961579426066)
(-40.791684714618334, -0.000600614473584034)
(50.22566744075319, 0.000396256537564922)
(-97.36883252968656, -0.000105466435587997)
(81.6569174978428, 0.000149950842172114)
(91.0842301384618, -0.000120520596237142)
(-18.742950211711907, 0.00283850456596173)
(2.331122370414423, -0.155421131677418)
(100.51106726511297, 9.89758509183166e-5)
(-50.22566744075319, 0.000396256537564922)
(-91.0842301384618, -0.000120520596237142)
(37.645997836015106, 0.000705108648137029)
(-65.94311888089696, -0.000229911752195002)
(125.64778896916187, 6.33377731879486e-5)
(25.0529526753384, 0.0015907091444567)
(-103.65326306779691, -9.30665517191495e-5)
(131.93173238582048, 5.74482124130948e-5)
(-87.94185298068903, 0.000129286334811403)
(47.0814165846103, -0.000450925793751296)
(94.22655496545507, 0.000112617131747143)
(-75.37169008106044, 0.000175997723793477)
(-47.0814165846103, -0.000450925793751296)
(-78.51434466481717, -0.000162192786313112)
(78.51434466481717, -0.000162192786313112)
(59.65673842619101, -0.000280904680743359)
(-94.22655496545507, 0.000112617131747143)
(40.791684714618334, -0.000600614473584034)
(31.352156690388735, 0.0010163038211767)
(-15.579767502289146, -0.00410291496827567)
(-12.405499633586086, 0.00645592708029144)
(-5.9501726433765585, 0.0274690904508921)
(72.2289430706097, -0.000191643565642655)
(15.579767502289146, -0.00410291496827567)
(28.203450267131746, -0.00125559586593523)
(21.89988729708232, -0.00208071049534438)
(43.936785063740594, 0.000517748125715798)
(-72.2289430706097, -0.000191643565642655)
(-62.80000863372525, 0.000253495636099399)
(62.80000863372525, 0.000253495636099399)
(-69.08609101329898, 0.000209472866973509)
(-25.0529526753384, 0.0015907091444567)
(69.08609101329898, 0.000209472866973509)
(-59.65673842619101, -0.000280904680743359)
(9.208433554401154, -0.0116556571276676)
(-56.51328154665989, 0.000313013440723007)
(0, -1)
(53.36960498185014, -0.000350961579426066)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2.33112237041442$$
$$x_{2} = -28.2034502671317$$
$$x_{3} = -84.7994176724893$$
$$x_{4} = 34.4995636692158$$
$$x_{5} = 65.943118880897$$
$$x_{6} = -34.4995636692158$$
$$x_{7} = 84.7994176724893$$
$$x_{8} = 97.3688325296866$$
$$x_{9} = -21.8998872970823$$
$$x_{10} = -9.20843355440115$$
$$x_{11} = -53.3696049818501$$
$$x_{12} = -40.7916847146183$$
$$x_{13} = -97.3688325296866$$
$$x_{14} = 91.0842301384618$$
$$x_{15} = 2.33112237041442$$
$$x_{16} = -91.0842301384618$$
$$x_{17} = -65.943118880897$$
$$x_{18} = -103.653263067797$$
$$x_{19} = 47.0814165846103$$
$$x_{20} = -47.0814165846103$$
$$x_{21} = -78.5143446648172$$
$$x_{22} = 78.5143446648172$$
$$x_{23} = 59.656738426191$$
$$x_{24} = 40.7916847146183$$
$$x_{25} = -15.5797675022891$$
$$x_{26} = 72.2289430706097$$
$$x_{27} = 15.5797675022891$$
$$x_{28} = 28.2034502671317$$
$$x_{29} = 21.8998872970823$$
$$x_{30} = -72.2289430706097$$
$$x_{31} = -59.656738426191$$
$$x_{32} = 9.20843355440115$$
$$x_{33} = 53.3696049818501$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{33} = 12.4054996335861$$
$$x_{33} = -100.511067265113$$
$$x_{33} = -81.6569174978428$$
$$x_{33} = 87.941852980689$$
$$x_{33} = -43.9367850637406$$
$$x_{33} = -37.6459978360151$$
$$x_{33} = 18.7429502117119$$
$$x_{33} = 5.95017264337656$$
$$x_{33} = -31.3521566903887$$
$$x_{33} = 75.3716900810604$$
$$x_{33} = 56.5132815466599$$
$$x_{33} = 50.2256674407532$$
$$x_{33} = 81.6569174978428$$
$$x_{33} = -18.7429502117119$$
$$x_{33} = 100.511067265113$$
$$x_{33} = -50.2256674407532$$
$$x_{33} = 37.6459978360151$$
$$x_{33} = 125.647788969162$$
$$x_{33} = 25.0529526753384$$
$$x_{33} = 131.93173238582$$
$$x_{33} = -87.941852980689$$
$$x_{33} = 94.2265549654551$$
$$x_{33} = -75.3716900810604$$
$$x_{33} = -94.2265549654551$$
$$x_{33} = 31.3521566903887$$
$$x_{33} = -12.4054996335861$$
$$x_{33} = -5.95017264337656$$
$$x_{33} = 43.9367850637406$$
$$x_{33} = -62.8000086337252$$
$$x_{33} = 62.8000086337252$$
$$x_{33} = -69.086091013299$$
$$x_{33} = -25.0529526753384$$
$$x_{33} = 69.086091013299$$
$$x_{33} = -56.5132815466599$$
$$x_{33} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[97.3688325296866, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -103.653263067797\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 61.1956635639228$$
$$x_{2} = 479.084530354542$$
$$x_{3} = -92.6337941106803$$
$$x_{4} = -32.8648247785944$$
$$x_{5} = -29.710242960192$$
$$x_{6} = 76.9170012609926$$
$$x_{7} = 54.9049780507868$$
$$x_{8} = 67.4849478949614$$
$$x_{9} = 7.28880961897998$$
$$x_{10} = -58.0505245424602$$
$$x_{11} = 51.758949425305$$
$$x_{12} = 3.4244262943983$$
$$x_{13} = 86.3474631570568$$
$$x_{14} = -23.3904159389741$$
$$x_{15} = -76.9170012609926$$
$$x_{16} = -3.4244262943983$$
$$x_{17} = -54.9049780507868$$
$$x_{18} = -70.6291819782668$$
$$x_{19} = -26.5525378692192$$
$$x_{20} = -146.05666962229$$
$$x_{21} = 2430.02027147444$$
$$x_{22} = -36.0171147693414$$
$$x_{23} = 83.2041192072701$$
$$x_{24} = 64.3404550990583$$
$$x_{25} = 98.9197248732035$$
$$x_{26} = 80.0606375496603$$
$$x_{27} = -48.6123445281032$$
$$x_{28} = -10.6132292669714$$
$$x_{29} = 92.6337941106803$$
$$x_{30} = 17.0427193207795$$
$$x_{31} = 26.5525378692192$$
$$x_{32} = 48.6123445281032$$
$$x_{33} = 45.4650429364822$$
$$x_{34} = 95.7768045829418$$
$$x_{35} = -13.8457897593825$$
$$x_{36} = 36.0171147693414$$
$$x_{37} = -83.2041192072701$$
$$x_{38} = -73.7731905236106$$
$$x_{39} = 70.6291819782668$$
$$x_{40} = -7.28880961897998$$
$$x_{41} = -108.34802323762$$
$$x_{42} = -98.9197248732035$$
$$x_{43} = 23.3904159389741$$
$$x_{44} = -39.1676723486677$$
$$x_{45} = -89.4906839379977$$
$$x_{46} = -45.4650429364822$$
$$x_{47} = -61.1956635639228$$
$$x_{48} = -64.3404550990583$$
$$x_{49} = -51.758949425305$$
$$x_{50} = 42.3168880500391$$
$$x_{51} = 73.7731905236106$$
$$x_{52} = 29.710242960192$$
$$x_{53} = -20.2217437216905$$
$$x_{54} = 20.2217437216905$$
$$x_{55} = -80.0606375496603$$
$$x_{56} = 89.4906839379977$$
$$x_{57} = -67.4849478949614$$
$$x_{58} = -42.3168880500391$$
$$x_{59} = 39.1676723486677$$
$$x_{60} = 32.8648247785944$$
$$x_{61} = 13.8457897593825$$
$$x_{62} = -17.0427193207795$$
$$x_{63} = -86.3474631570568$$
$$x_{64} = 58.0505245424602$$
$$x_{65} = 196.329166021576$$
$$x_{66} = -95.7768045829418$$
$$x_{67} = 10.6132292669714$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[479.084530354542, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -98.9197248732035\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 61.1956635639228$$
$$x_{2} = 479.084530354542$$
$$x_{3} = -92.6337941106803$$
$$x_{4} = -32.8648247785944$$
$$x_{5} = -29.710242960192$$
$$x_{6} = 76.9170012609926$$
$$x_{7} = 54.9049780507868$$
$$x_{8} = 67.4849478949614$$
$$x_{9} = 7.28880961897998$$
$$x_{10} = -58.0505245424602$$
$$x_{11} = 51.758949425305$$
$$x_{12} = 3.4244262943983$$
$$x_{13} = 86.3474631570568$$
$$x_{14} = -23.3904159389741$$
$$x_{15} = -76.9170012609926$$
$$x_{16} = -3.4244262943983$$
$$x_{17} = -54.9049780507868$$
$$x_{18} = -70.6291819782668$$
$$x_{19} = -26.5525378692192$$
$$x_{20} = -146.05666962229$$
$$x_{21} = 2430.02027147444$$
$$x_{22} = -36.0171147693414$$
$$x_{23} = 83.2041192072701$$
$$x_{24} = 64.3404550990583$$
$$x_{25} = 98.9197248732035$$
$$x_{26} = 80.0606375496603$$
$$x_{27} = -48.6123445281032$$
$$x_{28} = -10.6132292669714$$
$$x_{29} = 92.6337941106803$$
$$x_{30} = 17.0427193207795$$
$$x_{31} = 26.5525378692192$$
$$x_{32} = 48.6123445281032$$
$$x_{33} = 45.4650429364822$$
$$x_{34} = 95.7768045829418$$
$$x_{35} = -13.8457897593825$$
$$x_{36} = 36.0171147693414$$
$$x_{37} = -83.2041192072701$$
$$x_{38} = -73.7731905236106$$
$$x_{39} = 70.6291819782668$$
$$x_{40} = -7.28880961897998$$
$$x_{41} = -108.34802323762$$
$$x_{42} = -98.9197248732035$$
$$x_{43} = 23.3904159389741$$
$$x_{44} = -39.1676723486677$$
$$x_{45} = -89.4906839379977$$
$$x_{46} = -45.4650429364822$$
$$x_{47} = -61.1956635639228$$
$$x_{48} = -64.3404550990583$$
$$x_{49} = -51.758949425305$$
$$x_{50} = 42.3168880500391$$
$$x_{51} = 73.7731905236106$$
$$x_{52} = 29.710242960192$$
$$x_{53} = -20.2217437216905$$
$$x_{54} = 20.2217437216905$$
$$x_{55} = -80.0606375496603$$
$$x_{56} = 89.4906839379977$$
$$x_{57} = -67.4849478949614$$
$$x_{58} = -42.3168880500391$$
$$x_{59} = 39.1676723486677$$
$$x_{60} = 32.8648247785944$$
$$x_{61} = 13.8457897593825$$
$$x_{62} = -17.0427193207795$$
$$x_{63} = -86.3474631570568$$
$$x_{64} = 58.0505245424602$$
$$x_{65} = 196.329166021576$$
$$x_{66} = -95.7768045829418$$
$$x_{67} = 10.6132292669714$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[479.084530354542, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -98.9197248732035\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}$$
- Sí
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}$$
- Sí
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
es
par