Sr Examen

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Gráfico de la función y = sin(3*x-4*x^3)^(-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              1       
f(x) = ---------------
          /         3\
       sin\3*x - 4*x /
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}}$$
f = 1/sin(-4*x^3 + 3*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1.1879200548731$$
$$x_{2} = -0.866025403784439$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{\sin{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/sin(3*x - 4*x^3).
$$\frac{1}{\sin{\left(0 \cdot 3 - 4 \cdot 0^{3} \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(3 - 12 x^{2}\right) \cos{\left(4 x^{3} - 3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \left(2 + \sqrt[3]{2} \left(\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{4 \sqrt[3]{\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi}}$$
Signos de extremos en los puntos:
        -1    
(-1/2, ------)
       sin(1) 

        1    
(1/2, ------)
      sin(1) 

        /                              2/3\                                                                                           
        |          /        __________\   |                                                                                           
  3 ___ |    3 ___ |       /        2 |   |                                                                                           
 -\/ 2 *\2 + \/ 2 *\pi + \/  -4 + pi  /   /                                              1                                            
(-------------------------------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------)
                ____________________             /                                   3                                              \ 
               /         __________              |/                              2/3\            /                              2/3\| 
            3 /         /        2               ||          /        __________\   |            |          /        __________\   || 
          4*\/   pi + \/  -4 + pi                ||    3 ___ |       /        2 |   |      3 ___ |    3 ___ |       /        2 |   || 
                                                 |\2 + \/ 2 *\pi + \/  -4 + pi  /   /    3*\/ 2 *\2 + \/ 2 *\pi + \/  -4 + pi  /   /| 
                                              sin|------------------------------------ - -------------------------------------------| 
                                                 |         /        __________\                         ____________________        | 
                                                 |         |       /        2 |                        /         __________         | 
                                                 |       8*\pi + \/  -4 + pi  /                     3 /         /        2          | 
                                                 \                                                4*\/   pi + \/  -4 + pi           / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \left(2 + \sqrt[3]{2} \left(\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{4 \sqrt[3]{\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2} \left(2 + \sqrt[3]{2} \left(\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{4 \sqrt[3]{\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi}}, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2} \left(2 + \sqrt[3]{2} \left(\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{4 \sqrt[3]{\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi}}\right] \cup \left[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1.1879200548731$$
$$x_{2} = -0.866025403784439$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}}$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/sin(3*x - 4*x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sin{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sin{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{\sin{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}} = \frac{1}{\sin{\left(4 x^{3} - 3 x \right)}}$$
- No
$$\frac{1}{\sin{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(4 x^{3} - 3 x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar