Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{\left(3 - 12 x^{2}\right) \cos{\left(4 x^{3} - 3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(- 4 x^{3} + 3 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \left(2 + \sqrt[3]{2} \left(\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{4 \sqrt[3]{\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi}}$$
Signos de extremos en los puntos:
-1
(-1/2, ------)
sin(1)
1
(1/2, ------)
sin(1)
/ 2/3\
| / __________\ |
3 ___ | 3 ___ | / 2 | |
-\/ 2 *\2 + \/ 2 *\pi + \/ -4 + pi / / 1
(-------------------------------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------)
____________________ / 3 \
/ __________ |/ 2/3\ / 2/3\|
3 / / 2 || / __________\ | | / __________\ ||
4*\/ pi + \/ -4 + pi || 3 ___ | / 2 | | 3 ___ | 3 ___ | / 2 | ||
|\2 + \/ 2 *\pi + \/ -4 + pi / / 3*\/ 2 *\2 + \/ 2 *\pi + \/ -4 + pi / /|
sin|------------------------------------ - -------------------------------------------|
| / __________\ ____________________ |
| | / 2 | / __________ |
| 8*\pi + \/ -4 + pi / 3 / / 2 |
\ 4*\/ pi + \/ -4 + pi /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \left(2 + \sqrt[3]{2} \left(\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{4 \sqrt[3]{\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2} \left(2 + \sqrt[3]{2} \left(\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{4 \sqrt[3]{\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi}}, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2} \left(2 + \sqrt[3]{2} \left(\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{4 \sqrt[3]{\sqrt{-4 + \pi^{2}} + \pi}}\right] \cup \left[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$$